Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) [1,5 puntos] Calcula $a$ para que el sistema sea compatible indeterminado.** Para estudiar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+a & -a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 1+a \\ 1 & 2 & -1 & 1-a \\ 1 & 1+a & -a & 0 \end{array}\right)$$ Comenzamos calculando el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+a & -a \end{vmatrix} = [a \cdot 2 \cdot (-a) + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (1+a) \cdot 1] - [1 \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (1+a) \cdot a + (-a) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [-2a^2 - 1 + 1 + a] - [2 - (a + a^2) - a]$$ $$|A| = (-2a^2 + a) - (2 - a - a^2 - a) = -2a^2 + a - 2 + 2a + a^2 = -a^2 + 3a - 2$$ 💡 **Tip:** El sistema será compatible determinado si $|A| \neq 0$ (rango 3). Para que sea indeterminado o incompatible, el determinante debe ser cero. $$\boxed{|A| = -a^2 + 3a - 2}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que cambian el comportamiento del sistema: $$-a^2 + 3a - 2 = 0 \implies a^2 - 3a + 2 = 0$$ Usamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos valores: **$a = 1$** y **$a = 2$**. Ahora analizaremos el rango de $A$ y $A^*$ para estos valores aplicando el **Teorema de Rouché-Capelli**.

Si **$a = 1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 2 y 3 son idénticas ($F_2 = F_3$), por lo que el rango de la matriz ampliada será el mismo que el de la matriz de coeficientes. 1. Como $|A|=0$, $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rg}(A) = 2}$$ 2. Como la tercera fila de $A^*$ es igual a la segunda, no podemos formar un menor de orden 3 con la columna de términos independientes que sea distinto de cero, por tanto, $\mathbf{\text{rg}(A^*) = 2}$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{a = 1}$$

Para completar la discusión (aunque el enunciado solo pide el valor para compatible indeterminado), veamos qué ocurre si **$a = 2$**: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 & 0 \end{array}\right)$$ En este caso, $\text{rg}(A) = 2$ (ya que $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$). Calculamos el rango de $A^*$ comprobando un menor que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 1 + 9) - (6 - 6 + 0) = 8 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Rouché-Capelli establece: - $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n \implies$ Compatible Determinado. - $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n \implies$ Compatible Indeterminado. - $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*) \implies$ Incompatible.

**b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $a = 0$.** Si $a=0$, el determinante es $|A| = -(0)^2 + 3(0) - 2 = -2 \neq 0$. Por tanto, el sistema es Compatible Determinado (tiene solución única). Sustituimos $a=0$ en el sistema original: $$\begin{cases} y + z = 1 \quad (1) \\ x + 2y - z = 1 \quad (2) \\ x + y = 0 \quad (3) \end{cases}$$ De la ecuación (3) despejamos $x$: **$x = -y$**. Sustituimos $x = -y$ en la ecuación (2): $$-y + 2y - z = 1 \implies y - z = 1 \quad (4)$$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con $y$ y $z$ usando (1) y (4): $$\begin{cases} y + z = 1 \\ y - z = 1 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$2y = 2 \implies \mathbf{y = 1}$$ Sustituimos $y=1$ en (1): $$1 + z = 1 \implies \mathbf{z = 0}$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = -y = -1 \implies \mathbf{x = -1}$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{(x, y, z) = (-1, 1, 0)}$$