Sistema lineal con parámetro: compatibilidad indeterminada

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a$ para que el sistema sea compatible indeterminado. El sistema tiene 3 incógnitas. Para que sea **compatible indeterminado** (infinitas soluciones), es necesario que el determinante de la matriz de coeficientes sea 0: $$\det(A)=0,$$ donde $$A=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&2&-1\\1&1+a&-a\end{pmatrix}.$$ Calculamos $\det(A)$.

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a$ para que el sistema sea compatible indeterminado. Desarrollamos por la primera fila: \begin{align*} \det(A)&=a\begin{vmatrix}2&-1\\1+a&-a\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&-1\\1&-a\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&2\\1&1+a\end{vmatrix}\\ &=a\big(2(-a)-(-1)(1+a)\big)-\big(1(-a)-(-1)\cdot 1\big)+\big(1(1+a)-2\cdot 1\big)\\ &=a\big(-2a+1+a\big)-(-a+1)+(a-1)\\ &=a(1-a)+(a-1)+(a-1)\\ &=-a^2+3a-2=-(a-1)(a-2). \end{align*} Así, $$\det(A)=0\iff a=1\ \text{o}\ a=2.$$ Ahora comprobamos si realmente hay infinitas soluciones (compatible indeterminado): - Para $a=1$, el sistema queda con la 2.ª y 3.ª ecuación iguales, y es compatible, por lo que hay infinitas soluciones. - Para $a=2$, al reducir el sistema se obtiene una contradicción (ecuación del tipo $0=\text{no cero}$), así que es **incompatible**. Conclusión: $$\boxed{a=1}.$$

Apartado b) [1 punto] Resuelve el sistema, si es posible, para $a=0$. Sustituimos $a=0$: $$\begin{cases} 0\cdot x+y+z=1,\\ x+2y-z=1,\\ x+(1+0)y-0\cdot z=0. \end{cases}$$ Es decir: $$\begin{cases} y+z=1,\\ x+2y-z=1,\\ x+y=0. \end{cases}$$ De $x+y=0$: $$x=-y.$$ De $y+z=1$: $$z=1-y.$$ Sustituimos en $x+2y-z=1$: $$(-y)+2y-(1-y)=1\Rightarrow y-1+y=1\Rightarrow 2y=2\Rightarrow y=1.$$ Entonces $$x=-1,\quad z=0.$$ Solución: $$\boxed{(x,y,z)=(-1,1,0)}.$$