Integral con cambio de variable t=\sqrt{1+e^x}

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Calcula $$\int \frac{dx}{\sqrt{4+4e^x}}.$$ (Sugerencia: $t=\sqrt{1+e^x}$). Factorizamos 4 dentro de la raíz: $$\sqrt{4+4e^x}=\sqrt{4(1+e^x)}=2\sqrt{1+e^x}.$$ Entonces la integral es $$\int \frac{dx}{2\sqrt{1+e^x}}.$$ Hacemos el cambio $$t=\sqrt{1+e^x}\quad (t>0).$$ Entonces $$t^2=1+e^x\Rightarrow e^x=t^2-1.$$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Calcula $$\int \frac{dx}{\sqrt{4+4e^x}}.$$ Derivamos $t^2=1+e^x$: $$2t\,dt=e^x\,dx.$$ Como $e^x=t^2-1$, queda $$2t\,dt=(t^2-1)\,dx\Rightarrow dx=\frac{2t}{t^2-1}\,dt.$$ Sustituimos en la integral: \begin{align*} \int \frac{dx}{2\sqrt{1+e^x}}&=\int \frac{1}{2t}\cdot \frac{2t}{t^2-1}\,dt=\int \frac{1}{t^2-1}\,dt. \end{align*} Descomponemos: $$\frac{1}{t^2-1}=\frac{1}{(t-1)(t+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right).$$ Integrando: \begin{align*} \int \frac{1}{t^2-1}\,dt&=\frac{1}{2}\left(\ln|t-1|-\ln|t+1|\right)+C =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C. \end{align*} Volvemos a $x$ con $t=\sqrt{1+e^x}$: $$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{4+4e^x}}=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right|+C.}$$