Cálculo de una integral indefinida por cambio de variable

Para facilitar el cálculo, primero simplificamos la expresión del denominador extrayendo el factor común bajo la raíz. Observamos que: $$\sqrt{4 + 4e^x} = \sqrt{4(1 + e^x)} = 2\sqrt{1 + e^x}$$ De esta forma, la integral original se convierte en: $$I = \int \frac{dx}{2\sqrt{1 + e^x}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{1 + e^x}}$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas una constante multiplicando a todos los términos dentro de una raíz, intenta extraerla para simplificar el integrando.

Siguiendo la sugerencia del enunciado, aplicamos el cambio de variable $t = \sqrt{1 + e^x}$. Primero, despejamos $x$ o calculamos el diferencial $dx$. Es más sencillo elevar al cuadrado: $$t^2 = 1 + e^x \implies e^x = t^2 - 1$$ Ahora derivamos respecto a $t$ para obtener $dx$: $$2t \, dt = e^x \, dx$$ Sustituyendo el valor de $e^x$ que hemos despejado anteriormente: $$2t \, dt = (t^2 - 1) \, dx \implies dx = \frac{2t}{t^2 - 1} \, dt$$ 💡 **Tip:** En cambios de variable con raíces, suele ser útil elevar al cuadrado antes de derivar para evitar trabajar con fracciones y raíces en el diferencial.

Sustituimos las expresiones obtenidas para $\sqrt{1+e^x}$ y para $dx$ en la integral simplificada del paso 1: $$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \cdot \left( \frac{2t}{t^2 - 1} \right) dt$$ Simplificamos la expresión cancelando el factor $t$ en el numerador y el denominador, y el factor $2$: $$I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int \frac{t}{t(t^2 - 1)} dt = \int \frac{1}{t^2 - 1} dt$$ Obtenemos una integral racional simple. $$\boxed{I = \int \frac{1}{t^2 - 1} dt}$$

El denominador $t^2 - 1$ es una diferencia de cuadrados que se factoriza como $(t-1)(t+1)$. Descomponemos la fracción: $$\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1}$$ Multiplicamos por el denominador común: $$1 = A(t+1) + B(t-1)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dando valores a $t$: - Si $t = 1 \implies 1 = A(2) \implies A = \frac{1}{2}$ - Si $t = -1 \implies 1 = B(-2) \implies B = -\frac{1}{2}$ Por tanto: $$\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar funciones racionales donde el grado del numerador es menor que el del denominador, el método de fracciones simples es el más directo.

Integramos los términos obtenidos: $$I = \int \left( \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1} \right) dt = \frac{1}{2} \ln|t-1| - \frac{1}{2} \ln|t+1| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln(a/b)$): $$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable recordando que $t = \sqrt{1 + e^x}$: $$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sqrt{1 + e^x} - 1}{\sqrt{1 + e^x} + 1} \right| + C$$ Como la expresión $\sqrt{1+e^x}$ es siempre mayor que 1, el valor absoluto se puede omitir si se desea, pero es correcto mantenerlo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4e^x}} = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{\sqrt{1 + e^x} - 1}{\sqrt{1 + e^x} + 1} \right) + C}$$