Análisis 2024 Andalucia
Recta tangente y normal usando el Teorema Fundamental del Cálculo
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\int_{0}^{x}\cos(t)\,\sin^2(t)\,dt.$$
Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=\dfrac{\pi}{4}$.
Paso 1
Calcular f(x) y f'(x)
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\int_{0}^{x}\cos(t)\,\sin^2(t)\,dt.$$
Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=\dfrac{\pi}{4}$.
Por el Teorema Fundamental del Cálculo,
$$f'(x)=\cos(x)\,\sin^2(x).$$
Además, para obtener $f(x)$ de forma explícita, integramos con el cambio $u=\sin t$:
$$u=\sin t\Rightarrow du=\cos t\,dt.$$
Entonces:
\begin{align*}
f(x)&=\int_{0}^{x}\cos(t)\,\sin^2(t)\,dt=\int_{u=0}^{u=\sin x}u^2\,du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{\sin x}=\frac{\sin^3(x)}{3}.
\end{align*}
Paso 2
Punto de tangencia y pendiente en x=π/4
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=\dfrac{\pi}{4}$.
Calculamos el punto:
$$x_0=\frac{\pi}{4}.$$
Ordenada:
$$y_0=f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin^3\left(\frac{\pi}{4}\right)}{3}.$$
Como $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
$$\sin^3\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3=\frac{\sqrt{2}}{4},$$
por tanto
$$y_0=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{12}.$$
Pendiente de la tangente:
$$m_T=f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right).$$
Como $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$,
$$m_T=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$
Paso 3
Ecuación de la recta tangente y de la recta normal
EJERCICIO 3. (2,5 puntos)
Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=\dfrac{\pi}{4}$.
Recta tangente (forma punto-pendiente):
$$y-y_0=m_T(x-x_0).$$
Sustituimos $\left(x_0,y_0\right)=\left(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{12}\right)$ y $m_T=\frac{\sqrt{2}}{4}$:
$$\boxed{y-\frac{\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}.$$
La recta normal es perpendicular a la tangente, luego
$$m_N=-\frac{1}{m_T}=-\frac{1}{\sqrt{2}/4}=-\frac{4}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2}.$$
Ecuación de la normal:
$$\boxed{y-\frac{\sqrt{2}}{12}=-2\sqrt{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}.$$