Recta tangente y normal de una función definida por una integral

Para hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal en $x = \frac{\pi}{4}$, primero debemos calcular la imagen de la función en dicho punto, es decir, $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$. Sustituimos el valor en la definición de la función: $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \int_{0}^{\pi/4} \cos(t) \text{sen}^2(t) dt$$ Esta es una integral inmediata del tipo $\int f'(t) \cdot [f(t)]^n dt = \frac{[f(t)]^{n+1}}{n+1} + C$. En este caso, la derivada de $\text{sen}(t)$ es $\cos(t)$, por lo que: $$\int \cos(t) \text{sen}^2(t) dt = \frac{\text{sen}^3(t)}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida: $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left[ \frac{\text{sen}^3(t)}{3} \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{\text{sen}^3(\pi/4)}{3} - \frac{\text{sen}^3(0)}{3}$$ Como $\text{sen}(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\text{sen}(0) = 0$: $$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{(\sqrt{2}/2)^3}{3} - 0 = \frac{2\sqrt{2}/8}{3} = \frac{\sqrt{2}/4}{3} = \frac{\sqrt{2}}{12}$$ 💡 **Tip:** El punto por el que pasan ambas rectas es $P\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{12}\right)$. $$\boxed{f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{12}}$$

La pendiente de la recta tangente en un punto viene dada por el valor de la derivada en dicho punto, $m_t = f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$. Para obtener $f'(x)$, aplicamos el **Teorema Fundamental del Cálculo**, que nos dice que si $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt$, entonces $f'(x) = g(x)$. $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \cos(t) \text{sen}^2(t) dt \right) = \cos(x) \text{sen}^2(x)$$ Ahora evaluamos en $x = \frac{\pi}{4}$: $$m_t = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \text{sen}^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ $$m_t = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema Fundamental del Cálculo nos ahorra integrar y luego derivar si solo necesitamos la pendiente. $$\boxed{m_t = \frac{\sqrt{2}}{4}}$$

Utilizamos la ecuación en forma punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Sustituyendo los valores obtenidos $a = \frac{\pi}{4}$, $f(a) = \frac{\sqrt{2}}{12}$ y $f'(a) = \frac{\sqrt{2}}{4}$: $$y - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$$ Podemos dejarla en esta forma o simplificarla un poco: $$y = \frac{\sqrt{2}}{4}x - \frac{\pi\sqrt{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{12}$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{4} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}$$

La pendiente de la recta normal ($m_n$) es la opuesta de la inversa de la pendiente de la tangente: $$m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -\frac{1}{\sqrt{2}/4} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$$ Usamos de nuevo la forma punto-pendiente con el mismo punto $P\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{12}\right)$: $$y - \frac{\sqrt{2}}{12} = -2\sqrt{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$. ✅ **Resultado (recta normal):** $$\boxed{y - \frac{\sqrt{2}}{12} = -2\sqrt{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}$$