Límite notable con desarrollos de Taylor

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $$\lim_{x\to 0}\frac{a(\ln(1+x)-x)+b(e^x-1)+1-\cos(x)}{\sin^2(x)}=5.$$ Usamos desarrollos de Taylor en $x=0$: $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4),$$ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4),$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6),$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)\Rightarrow \sin^2 x=x^2+O(x^4).$$ En el límite, el denominador se comporta como $x^2$, así que en el numerador no puede quedar un término de orden $x$ (si no, el cociente se iría a $\pm\infty$).

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $$\lim_{x\to 0}\frac{a(\ln(1+x)-x)+b(e^x-1)+1-\cos(x)}{\sin^2(x)}=5.$$ Calculamos los términos principales del numerador: - $\ln(1+x)-x=\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots\right)-x=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4)$. - $e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)$. - $1-\cos x=\frac{x^2}{2}+O(x^4)$. Entonces el numerador vale: \begin{align*} N(x)&=a\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O(x^4)\right)+b\left(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)\right)+\left(\frac{x^2}{2}+O(x^4)\right)\\ &=bx+\left(-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{2}\right)x^2+O(x^3). \end{align*} Para que el límite sea finito debe cumplirse $bx=0$ en primer orden, así que $$\boxed{b=0}.$$

EJERCICIO 2. (2,5 puntos) Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $$\lim_{x\to 0}\frac{a(\ln(1+x)-x)+b(e^x-1)+1-\cos(x)}{\sin^2(x)}=5.$$ Con $b=0$, el numerador queda $$N(x)=a\left(-\frac{x^2}{2}+O(x^3)\right)+\frac{x^2}{2}+O(x^4)=\left(\frac{1-a}{2}\right)x^2+O(x^3).$$ Y el denominador $$\sin^2 x=x^2+O(x^4).$$ Por tanto, $$\lim_{x\to 0}\frac{N(x)}{\sin^2 x}=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\frac{1-a}{2}\right)x^2+O(x^3)}{x^2+O(x^4)}=\frac{1-a}{2}.$$ Imponemos que valga 5: $$\frac{1-a}{2}=5\Rightarrow 1-a=10\Rightarrow a=-9.$$ Resultado: $$\boxed{a=-9,\quad b=0}.$$