Cálculo de parámetros en un límite con L'Hôpital

**Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $\lim_{x o 0} \frac{a(\ln(1 + x) - x) + b(e^x - 1) + 1 - \cos(x)}{\text{sen}^2(x)} = 5$.** En primer lugar, evaluamos el límite cuando $x \to 0$ para comprobar si existe una indeterminación. Sustituimos $x = 0$ en el numerador y el denominador: - Numerador: $a(\ln(1+0) - 0) + b(e^0 - 1) + 1 - \cos(0) = a(0) + b(0) + 1 - 1 = 0$ - Denominador: $\text{sen}^2(0) = 0$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que nos permite derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ y existe el límite de las derivadas, entonces $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $[a(\ln(1+x)-x) + b(e^x-1) + 1-\cos(x)]' = a(\frac{1}{1+x} - 1) + b e^x + \text{sen}(x)$ - Derivada del denominador: $[\text{sen}^2(x)]' = 2 \text{sen}(x) \cos(x) = \text{sen}(2x)$ El límite se transforma en: $$\lim_{x \to 0} \frac{a(\frac{1}{1+x} - 1) + b e^x + \text{sen}(x)}{\text{sen}(2x)} = 5$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: - Denominador: $\text{sen}(0) = 0$ - Numerador: $a(\frac{1}{1} - 1) + b e^0 + \text{sen}(0) = 0 + b + 0 = b$ Para que el límite pueda ser un número finito (en este caso, 5), el numerador debe ser necesariamente **0** cuando el denominador tiende a 0. Si $b$ fuera distinto de 0, el límite sería infinito. Por lo tanto: $$\boxed{b = 0}$$ 💡 **Tip:** En límites con parámetros, si el denominador tiende a 0 y el resultado es finito, el numerador debe tender obligatoriamente a 0 para mantener la indeterminación y poder seguir aplicando L'Hôpital.

Sustituimos $b = 0$ en la expresión del límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{a(\frac{1}{1+x} - 1) + \text{sen}(x)}{\text{sen}(2x)}$$ Como vuelve a ser una indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez derivando de nuevo: - Derivada del numerador: $[a(\frac{1}{1+x} - 1) + \text{sen}(x)]' = a(-\frac{1}{(1+x)^2}) + \cos(x)$ - Derivada del denominador: $[\text{sen}(2x)]' = 2 \cos(2x)$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{a}{(1+x)^2} + \cos(x)}{2 \cos(2x)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{1}{u}$ es $-\frac{u'}{u^2}$ y la derivada de $\text{sen}(kx)$ es $k\cos(kx)$.

Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la nueva expresión: $$\frac{-\frac{a}{(1+0)^2} + \cos(0)}{2 \cos(0)} = \frac{-a + 1}{2 \cdot 1} = \frac{1-a}{2}$$ Según el enunciado, el valor de este límite es 5, por lo que igualamos y resolvemos la ecuación: $$\frac{1-a}{2} = 5$$ $$1 - a = 10$$ $$-a = 9 \implies a = -9$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -9, \quad b = 0}$$