Estudio de monotonía y extremos de una función logarítmica

**a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.** Para estudiar la monotonía de la función $f(x) = \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right)$ en su dominio $(0, +\infty)$, primero calculamos su derivada. Podemos simplificar la expresión de la función usando las propiedades de los logaritmos antes de derivar: $$f(x) = \ln(x^2 + 1) - \ln(x)$$ Ahora derivamos término a término: $$f'(x) = \frac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} - \frac{(x)'}{x} = \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x}$$ Para trabajar más cómodamente, unificamos en una sola fracción: $$f'(x) = \frac{2x^2 - (x^2 + 1)}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$. Esto suele facilitar mucho la derivación en comparación con usar la regla de la cadena directamente sobre el cociente. $$\boxed{f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)}}

Los puntos críticos son aquellos donde $f'(x) = 0$ o donde la derivada no existe (dentro del dominio). $$f'(x) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Como el dominio de la función es $(0, +\infty)$, solo consideramos el valor **$x = 1$**. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto crítico dentro del dominio: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline x^2 - 1 & - & 0 & +\\ x(x^2 + 1) & + & + & +\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En el intervalo $(1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. ✅ **Resultado (Intervalos de monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 1) \text{ y Creciente en } (1, +\infty)}$$

**b) [1,5 puntos] Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).** A partir del estudio de la monotonía realizado en el apartado anterior, observamos que en $x = 1$ la función pasa de ser decreciente a ser creciente. Por el criterio de la primera derivada, existe un **mínimo relativo** en $x = 1$. Calculamos el valor de la función en ese punto: $$f(1) = \ln \left( \frac{1^2 + 1}{1} \right) = \ln(2)$$ Por tanto, el mínimo relativo se encuentra en el punto $(1, \ln 2)$. No existen máximos relativos ya que la derivada solo se anula en $x=1$. ✅ **Resultado (Extremos relativos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } x = 1, \text{ valor } f(1) = \ln 2}$$

Para determinar si el mínimo relativo es absoluto y si existen otros extremos absolutos, analizamos el comportamiento de la función en los extremos del dominio $(0, +\infty)$. 1. Límite cuando $x \to 0^+$: $$\lim_{x \to 0^+} \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \ln \left( \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \ln \left( \frac{1}{0^+} \right) = \ln(+\infty) = +\infty$$ 2. Límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \ln \left( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} \right) = \ln \left( \lim_{x \to +\infty} x \right) = +\infty$$ Como la función es continua en $(0, +\infty)$, tiende a $+\infty$ en ambos extremos del dominio y tiene un único mínimo relativo, este mínimo debe ser el **mínimo absoluto**. Dado que la función crece sin cota hacia $+\infty$, **no existe máximo absoluto**. 💡 **Tip:** Un mínimo relativo es absoluto si es el valor más pequeño que alcanza la función en todo su dominio. Aquí, al ser la función decreciente antes de $x=1$ y creciente después, el valor $\ln 2$ es el más bajo posible. ✅ **Resultado (Extremos absolutos):** $$\boxed{\text{Mínimo absoluto en } x = 1, \text{ valor } f(1) = \ln 2. \text{ No existe máximo absoluto.}}$$