Monotonía y extremos de una función logarítmica

Apartado a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Partimos de $$f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{x}\right),\quad x>0.$$ Usamos que $\ln\left(\frac{A}{B}\right)=\ln(A)-\ln(B)$ (con $A,B>0$). Como $x>0$, se puede escribir: $$f(x)=\ln(x^2+1)-\ln(x).$$ Derivamos: $$f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-\frac{1}{x}.$$ Llevamos a denominador común $x(x^2+1)$: $$f'(x)=\frac{2x^2-(x^2+1)}{x(x^2+1)}=\frac{x^2-1}{x(x^2+1)}.$$ En el dominio $x>0$, el denominador $x(x^2+1)$ es **siempre positivo**, así que el signo de $f'(x)$ depende de $x^2-1$.

Apartado a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Estudiamos el signo de $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$ En $x>0$ se cumple $x+1>0$, por tanto el signo lo determina $x-1$: - Si $01$, entonces $x-1>0\Rightarrow x^2-1>0\Rightarrow f'(x)>0$. Conclusión: - $f$ es **decreciente** en **$\boldsymbol{(0,1)}$**. - $f$ es **creciente** en **$\boldsymbol{(1,+\infty)}$**.

Apartado b) [1,5 puntos] Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). Los puntos críticos se obtienen con $f'(x)=0$: $$\frac{x^2-1}{x(x^2+1)}=0\iff x^2-1=0\iff x=\pm 1.$$ Como el dominio es $(0,+\infty)$, solo vale $$x=1.$$ Como $f'(x)<0$ en $(0,1)$ y $f'(x)>0$ en $(1,+\infty)$, en $x=1$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo** en $x=1$. Valor del mínimo: $$f(1)=\ln\left(\frac{1^2+1}{1}\right)=\ln(2).$$ Para extremos absolutos, miramos el comportamiento en los extremos del dominio: - Si $x\to 0^+$, entonces $\dfrac{x^2+1}{x}\to +\infty$ y $$\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty.$$ - Si $x\to +\infty$, entonces $\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\to +\infty$ y $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.$$ Conclusiones: - **Mínimo relativo en $\boldsymbol{x=1}$ con valor $\boldsymbol{f(1)=\ln 2}$.** - Además, ese mínimo es **mínimo absoluto**. - **No existe máximo absoluto** (la función crece sin cota hacia $+\infty$ en ambos extremos del dominio).