Geometría en el espacio 2024 Andalucia
Área de un triángulo en el espacio y cuarto vértice de un paralelogramo
EJERCICIO 8. (2,5 puntos)
Considera los puntos $A(1,1,2)$, $B(1,0,1)$ y $C(1,-1,2)$.
a) [1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.
b) [1,25 puntos] Calcula $D$ para que los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.
Paso 1
Apartado a: vectores AB y AC
Apartado a) [1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.
Calculamos dos vectores del triángulo con origen en $A$:
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(1-1,\,0-1,\,1-2)=(0,-1,-1),$$
$$\overrightarrow{AC}=C-A=(1-1,\,-1-1,\,2-2)=(0,-2,0).$$
Paso 2
Apartado a: producto vectorial y área
Apartado a) [1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.
El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo generado por $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$:
$$\text{Área}(\triangle ABC)=\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.$$
Calculamos:
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,-1,-1)\times(0,-2,0).$$
Producto vectorial:
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-2,0,0).$$
Su norma:
$$\|(-2,0,0)\|=2.$$
Entonces:
$$\text{Área}(\triangle ABC)=\frac{1}{2}\cdot 2=1.$$
Resultado: **$\boxed{\text{Área}=1}$**.
Paso 3
Apartado b: fórmula del cuarto vértice del paralelogramo
Apartado b) [1,25 puntos] Calcula $D$ para que los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.
Si $A,B,C,D$ son vértices consecutivos (en ese orden), entonces
$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$$
Por tanto,
$$D=A+\overrightarrow{BC}=A+(C-B)=A+C-B.$$
Paso 4
Apartado b: calcular D
Apartado b) [1,25 puntos] Calcula $D$ para que los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.
Calculamos:
$$D=A+C-B=(1,1,2)+(1,-1,2)-(1,0,1).$$
Coordenada a coordenada:
$$x: 1+1-1=1,$$
$$y: 1+(-1)-0=0,$$
$$z: 2+2-1=3.$$
Resultado: **$\boxed{D(1,0,3)}$**.
Fuente del enunciado: :contentReference[oaicite:0]{index=0}