Área de un triángulo y cuarto vértice de un paralelogramo

**a) [1,25 puntos] Determina el área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$.** Para calcular el área del triángulo formado por los puntos $A, B$ y $C$, primero definimos dos vectores que partan de un mismo vértice, por ejemplo, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los componentes restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 2) = (0, -1, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1 - 1, -1 - 1, 2 - 2) = (0, -2, 0)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de dos de los vectores formados por sus lados: $S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$. $$\boxed{\vec{AB} = (0, -1, -1), \quad \vec{AC} = (0, -2, 0)}$$

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante de la matriz formada por los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ y las componentes de nuestros vectores: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por la primera fila o por Sarrus: $$\vec{w} = \vec{i} \cdot [(-1)(0) - (-1)(-2)] - \vec{j} \cdot [(0)(0) - (-1)(0)] + \vec{k} \cdot [(0)(-2) - (-1)(0)]$$ $$\vec{w} = \vec{i} \cdot (0 - 2) - \vec{j} \cdot (0 - 0) + \vec{k} \cdot (0 - 0)$$ $$\vec{w} = (-2, 0, 0)$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AC} = (-2, 0, 0)}$$

El área del triángulo es la mitad del módulo de este vector resultante: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$$ Por tanto: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 1 \text{ unidad cuadrada}}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula $D$ para que los puntos $A, B, C$ y $D$ sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.** Si los puntos $A, B, C$ y $D$ son vértices consecutivos, para que formen un paralelogramo se debe cumplir que los vectores que forman sus lados opuestos sean iguales. En este caso: $$\vec{AB} = \vec{DC}$$ Llamamos al punto $D$ como $(x, y, z)$. El vector $\vec{DC}$ es: $$\vec{DC} = C - D = (1 - x, -1 - y, 2 - z)$$ Ya conocemos $\vec{AB}$ del apartado anterior: $\vec{AB} = (0, -1, -1)$. 💡 **Tip:** En un paralelogramo $ABCD$, el vector que va de $A$ a $B$ debe ser idéntico al que va de $D$ a $C$ para que los lados sean paralelos y de la misma longitud.

Igualamos las componentes de $\vec{AB} = (0, -1, -1)$ y $\vec{DC} = (1 - x, -1 - y, 2 - z)$: 1) Componente $x$: $1 - x = 0 \implies x = 1$ 2) Componente $y$: $-1 - y = -1 \implies -y = 0 \implies y = 0$ 3) Componente $z$: $2 - z = -1 \implies -z = -3 \implies z = 3$ Por tanto, las coordenadas del punto $D$ son $(1, 0, 3)$. Comprobamos que el orden es consecutivo: $\vec{BC} = (1-1, -1-0, 2-1) = (0, -1, 1)$ y $\vec{AD} = (1-1, 0-1, 3-2) = (0, -1, 1)$. Efectivamente, $\vec{AD} = \vec{BC}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D(1, 0, 3)}$$