Plano mediador y plano paralelo a una recta

**a) [1 punto] Calcula el plano perpendicular al segmento $PQ$ que pasa por su punto medio.** El plano buscado (llamado plano mediador) es aquel que tiene como vector normal el vector $\vec{PQ}$ y pasa por el punto medio del segmento $PQ$. Primero, calculamos el punto medio $M$ de $P(1, 0, 1)$ y $Q(3, -2, 1)$: $$M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{0 + (-2)}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (2, -1, 1)$$ Calculamos ahora el vector $\vec{PQ}$ que servirá como vector normal del plano $\pi$: $$\vec{PQ} = Q - P = (3 - 1, -2 - 0, 1 - 1) = (2, -2, 0)$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a un segmento siempre tiene como vector normal al propio vector del segmento. Podemos simplificar el vector normal $\vec{n} = (2, -2, 0)$ dividiendo por 2 para obtener $\vec{n} = (1, -1, 0)$.

Utilizamos el vector normal $\vec{n} = (1, -1, 0)$ y el punto $M(2, -1, 1)$ en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$1 \cdot (x - 2) - 1 \cdot (y - (-1)) + 0 \cdot (z - 1) = 0$$ Desarrollamos la expresión: $$(x - 2) - (y + 1) = 0$$ $$x - 2 - y - 1 = 0$$ $$x - y - 3 = 0$$ ✅ **Resultado (plano mediador):** $$\boxed{x - y - 3 = 0}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula el plano paralelo a la recta $r \equiv 1 - x = \frac{y - 2}{3} = z + 1$ que pasa por $P$ y $Q$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). 1. El plano pasa por $P(1, 0, 1)$ y $Q(3, -2, 1)$, por lo que contiene al vector $\vec{PQ} = (2, -2, 0)$. 2. El plano es paralelo a la recta $r$. Para ello, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser también un vector director del plano. Obtenemos el vector director de $r$ escribiendo su ecuación en forma continua estándar: $$r \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$$ De aquí extraemos $\vec{v}_r = (-1, 3, 1)$. 💡 **Tip:** Cuidado con el término $1 - x$. Para obtener el vector director, la $x$ debe tener coeficiente $1$, por lo que $1 - x = -(x - 1)$, y el signo menos pasa al denominador.

El vector normal $\vec{n}_\pi$ del plano será el producto vectorial de los dos vectores directores hallados: $\vec{PQ} = (2, -2, 0)$ y $\vec{v}_r = (-1, 3, 1)$. $$\vec{n}_\pi = \vec{PQ} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = \mathbf{i}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot 3) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(2 \cdot 3 - (-2) \cdot (-1))$$ $$\vec{n}_\pi = -2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + (6 - 2)\mathbf{k} = (-2, -2, 4)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre $-2$ para trabajar con valores más sencillos: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector perpendicular a ambos, que es precisamente lo que define la orientación de un plano.

Usamos el punto $P(1, 0, 1)$ y el vector normal $\vec{n}_\pi = (1, 1, -2)$ para hallar la ecuación del plano: $$1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 0) - 2 \cdot (z - 1) = 0$$ Expandimos la ecuación: $$x - 1 + y - 2z + 2 = 0$$ $$x + y - 2z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado (plano paralelo):** $$\boxed{x + y - 2z + 1 = 0}$$