Planos: perpendicularidad a un segmento y paralelismo a una recta

Apartado a) [1 punto] Calcula el plano perpendicular al segmento $PQ$ que pasa por su punto medio. Vector del segmento: $$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(3-1,\,-2-0,\,1-1)=(2,-2,0).$$ Punto medio: $$M=\left(\frac{1+3}{2},\frac{0+(-2)}{2},\frac{1+1}{2}\right)=(2,-1,1).$$ Un plano perpendicular a $PQ$ tiene como vector normal uno paralelo a $\overrightarrow{PQ}$, así que tomamos $$\vec n=(2,-2,0).$$

Apartado a) [1 punto] Calcula el plano perpendicular al segmento $PQ$ que pasa por su punto medio. Ecuación del plano con normal $\vec n$ y pasando por $M$: $$\vec n\cdot\big((x,y,z)-M\big)=0.$$ Es decir: $$2(x-2)-2(y+1)+0(z-1)=0.$$ Simplificamos: $$2x-4-2y-2=0\Rightarrow 2x-2y-6=0\Rightarrow x-y-3=0.$$ Resultado: **$\boxed{x-y-3=0}$**.

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula el plano paralelo a la recta $r\equiv 1-x=\dfrac{y-2}{3}=z+1$ que pasa por $P$ y $Q$. El plano debe: - pasar por $P$ y $Q$, por lo que contiene la recta $PQ$ (dirección $\overrightarrow{PQ}=(2,-2,0)$), - ser paralelo a la recta $r$, por lo que debe contener un vector director de $r$. De $$1-x=\frac{y-2}{3}=z+1=t,$$ obtenemos: $$x=1-t,\quad y=2+3t,\quad z=t-1.$$ Luego un vector director de $r$ es $$\vec v_r=(-1,3,1).$$ Así, el plano está generado por los vectores $$\vec v_1=\overrightarrow{PQ}=(2,-2,0),\qquad \vec v_2=\vec v_r=(-1,3,1).$$

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula el plano paralelo a la recta $r\equiv 1-x=\dfrac{y-2}{3}=z+1$ que pasa por $P$ y $Q$. Un vector normal del plano es $$\vec n=\vec v_1\times\vec v_2=(2,-2,0)\times(-1,3,1).$$ Calculamos: $$\vec n=(-2,-2,4),$$ que es proporcional a $$\vec n'=(1,1,-2).$$ Ecuación del plano que pasa por $P(1,0,1)$: $$\vec n'\cdot\big((x,y,z)-(1,0,1)\big)=0$$ $$1(x-1)+1(y-0)-2(z-1)=0$$ $$x-1+y-2z+2=0\Rightarrow x+y-2z+1=0.$$ Resultado: **$\boxed{x+y-2z+1=0}$**.