Determinación de un número de tres cifras mediante sistemas de ecuaciones

Para resolver el problema, representamos el número de tres cifras mediante sus dígitos. Sea $x$ la cifra de las centenas, $y$ la de las decenas y $z$ la de las unidades. El número buscado se puede expresar matemáticamente según su posición decimal como: $$N = 100x + 10y + z$$ Al intercambiar las centenas por las unidades, obtenemos un nuevo número: $$N' = 100z + 10y + x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier número natural se puede escribir en base 10 usando sus cifras. Por ejemplo, $513 = 5\cdot 100 + 1\cdot 10 + 3$.

A partir del enunciado, traducimos las condiciones a ecuaciones algebraicas: 1. La suma de sus dígitos es 9: $$x + y + z = 9$$ 2. La diferencia entre el número original y el intercambiado es 198: $$(100x + 10y + z) - (100z + 10y + x) = 198$$ 3. La suma entre el número original y el intercambiado es 828: $$(100x + 10y + z) + (100z + 10y + x) = 828$$ Simplifiquemos las ecuaciones (2) y (3): - De la (2): $99x - 99z = 198 \implies x - z = 2$ - De la (3): $101x + 20y + 101z = 828$ El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 9 \\ x - z = 2 \\ 101x + 20y + 101z = 828 \end{cases}$$

Podemos utilizar la primera ecuación para simplificar la tercera. De la primera ecuación, sabemos que la suma de las centenas y unidades es: $$x + z = 9 - y$$ Sustituimos esta expresión en la tercera ecuación agrupando los términos en $x$ y $z$: $$101(x + z) + 20y = 828$$ $$101(9 - y) + 20y = 828$$ Ahora resolvemos para $y$: $$909 - 101y + 20y = 828$$ $$909 - 81y = 828$$ $$81y = 909 - 828$$ $$81y = 81 \implies y = 1$$ 💡 **Tip:** Agrupar variables relacionadas (como $x+z$) suele simplificar notablemente los sistemas de ecuaciones en problemas de números. $$\boxed{y = 1}$$

Con el valor de $y = 1$, volvemos a las dos primeras ecuaciones simplificadas: 1. $x + z = 9 - 1 \implies x + z = 8$ 2. $x - z = 2$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $z$: $$(x + z) + (x - z) = 8 + 2$$ $$2x = 10 \implies x = 5$$ Ahora sustituimos $x = 5$ en la ecuación $x + z = 8$: $$5 + z = 8 \implies z = 3$$ Ya tenemos las tres cifras del número: $x = 5$ (centenas), $y = 1$ (decenas) y $z = 3$ (unidades). $$\boxed{x = 5, \quad z = 3}$$

El número natural de tres cifras buscado es **513**. **Comprobación:** - Suma de cifras: $5 + 1 + 3 = 9$ (Correcto). - Número intercambiado: $315$. - Diferencia: $513 - 315 = 198$ (Correcto). - Suma: $513 + 315 = 828$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{513}$$