Sistema de ecuaciones con dígitos: número de tres cifras

EJERCICIO 6. (2,5 puntos) Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $9$, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es $198$, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es $828$. Sea el número de tres cifras $N$ con dígitos: - centenas: $a$, - decenas: $b$, - unidades: $c$, con $a\in\{1,2,\dots,9\}$ y $b,c\in\{0,1,\dots,9\}$. Entonces: $$N=100a+10b+c.$$ Al intercambiar centenas y unidades, obtenemos: $$R=100c+10b+a.$$

EJERCICIO 6. (2,5 puntos) Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $9$, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es $198$, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es $828$. 1) Suma de dígitos: $$a+b+c=9.$$ 2) Diferencia entre el número y el invertido: $$N-R=198.$$ Sustituimos: \begin{align*} (100a+10b+c)-(100c+10b+a)&=198\\ 99(a-c)&=198\\ a-c&=2. \end{align*} 3) Suma de ambos números: $$N+R=828.$$ Sustituimos: \begin{align*} (100a+10b+c)+(100c+10b+a)&=828\\ 101(a+c)+20b&=828. \end{align*}

EJERCICIO 6. (2,5 puntos) Determina un número natural de tres cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $9$, que la diferencia de dicho número con el que se obtiene al intercambiar la cifra de las centenas por la de las unidades es $198$, y que si consideramos la suma entre ambos números, es decir, entre el número a determinar y el que se obtiene al intercambiar sus cifras, el resultado es $828$. De $a-c=2$: $$a=c+2.$$ Entonces $a+c=2c+2$. Sustituimos en $101(a+c)+20b=828$: $$101(2c+2)+20b=828$$ $$202c+202+20b=828$$ $$202c+20b=626$$ Dividimos entre 2: $$101c+10b=313.$$ Como $c$ es un dígito, probamos valores para que $10b$ sea múltiplo de 10. Si $c=3$: $$101\cdot 3=303\Rightarrow 10b=313-303=10\Rightarrow b=1.$$ Con $c=3$, se tiene $a=c+2=5$. Comprobamos la suma de dígitos: $$a+b+c=5+1+3=9,$$ se cumple. Por tanto, $$N=100\cdot 5+10\cdot 1+3=513.$$ Resultado: **$\boxed{513}$**.