Invertibilidad de A^2 y resolución de ecuación matricial

Apartado a) [0,75 puntos] Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A^2$ tiene inversa. Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de 0. Además, $$\det(A^2)=\big(\det(A)\big)^2.$$ Por tanto, $A^2$ es invertible **si y solo si** $\det(A)\ne 0$. Así que basta calcular $\det(A)$.

Apartado a) [0,75 puntos] Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A^2$ tiene inversa. Con $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\ m&1&0\\ 1&-1&2\end{pmatrix},$$ desarrollamos por la primera fila: $$\begin{align*} \det(A)&=1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\-1&2\end{vmatrix}-0\cdot(\cdots)+1\cdot\begin{vmatrix}m&1\\1&-1\end{vmatrix}\\ &=(1\cdot 2-0\cdot(-1))+(m\cdot(-1)-1\cdot 1)\\ &=2+(-m-1)=1-m. \end{align*}$$ Entonces: $$A^2\ \text{tiene inversa} \iff \det(A)\ne 0 \iff 1-m\ne 0 \iff m\ne 1.$$ Resultado: **$\boxed{m\ne 1}$**.

Apartado b) [1,75 puntos] Para $m=0$ calcula, si es posible, la matriz $X$ que verifica $$A^2X=\frac{1}{2}(A+B).$$ Sustituimos $m=0$: $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&-1&2\end{pmatrix}.$$ Calculamos $$A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&1&0\\3&-3&5\end{pmatrix}.$$ Ahora sumamos $A+B$: $$A+B=\begin{pmatrix}-3&8&1\\0&5&4\\5&11&22\end{pmatrix}.$$ Y la mitad: $$\frac{1}{2}(A+B)=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}&4&\frac{1}{2}\\0&\frac{5}{2}&2\\\frac{5}{2}&\frac{11}{2}&11\end{pmatrix}.$$

Apartado b) [1,75 puntos] Para $m=0$ calcula, si es posible, la matriz $X$ que verifica $$A^2X=\frac{1}{2}(A+B).$$ Sea $$A^2=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&1&0\\3&-3&5\end{pmatrix},\quad R=\frac{1}{2}(A+B).$$ Si llamamos $X=[\vec x_1\ \vec x_2\ \vec x_3]$ y $R=[\vec r_1\ \vec r_2\ \vec r_3]$, entonces $$A^2\vec x_j=\vec r_j\quad (j=1,2,3).$$ La ecuación de la segunda fila es siempre $v=r_2$ porque la segunda fila de $A^2$ es $(0,1,0)$. Luego resolvemos las otras dos ecuaciones para cada columna.

Apartado b) [1,75 puntos] Para $m=0$ calcula, si es posible, la matriz $X$ que verifica $$A^2X=\frac{1}{2}(A+B).$$ Columnas de $R$: $$\vec r_1=\begin{pmatrix}-\frac{3}{2}\\0\\\frac{5}{2}\end{pmatrix},\quad \vec r_2=\begin{pmatrix}4\\\frac{5}{2}\\\frac{11}{2}\end{pmatrix},\quad \vec r_3=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\2\\11\end{pmatrix}.$$ Resolviendo $A^2\vec x_j=\vec r_j$ (con el método descrito en el paso anterior) se obtiene: $$\vec x_1=\begin{pmatrix}-15\\0\\\frac{19}{2}\end{pmatrix},\quad \vec x_2=\begin{pmatrix}-\frac{13}{2}\\\frac{5}{2}\\\frac{13}{2}\end{pmatrix},\quad \vec x_3=\begin{pmatrix}-\frac{77}{2}\\2\\\frac{53}{2}\end{pmatrix}.$$ Por tanto, $$\boxed{X= \begin{pmatrix} -15 & -\frac{13}{2} & -\frac{77}{2}\\ 0 & \frac{5}{2} & 2\\ \frac{19}{2} & \frac{13}{2} & \frac{53}{2} \end{pmatrix}}.$$