Invertibilidad de potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) [0,75 puntos] Determina los valores de $m$ para los que la matriz $A^2$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. En este caso, buscamos los valores de $m$ para los que $\det(A^2) \neq 0$. Utilizando las propiedades de los determinantes, sabemos que el determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes: $$\det(A^2) = \det(A \cdot A) = \det(A) \cdot \det(A) = (\det(A))^2$$ Por tanto, la matriz $A^2$ tendrá inversa si y solo si $(\det(A))^2 \neq 0$, lo cual equivale a que **$\det(A) \neq 0$**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $M$ es invertible (o regular) $\iff \det(M) \neq 0$. Además, $\det(A^n) = (\det A)^n$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = (1 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot m \cdot (-1)) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot m \cdot 2) + (1 \cdot 0 \cdot (-1)) ]$$ $$\det(A) = (2 + 0 - m) - (1 + 0 + 0) = 2 - m - 1 = 1 - m$$ Para que la matriz tenga inversa, imponemos la condición: $$1 - m \neq 0 \implies m \neq 1$$ Por lo tanto, la matriz $A^2$ tiene inversa para cualquier valor de $m$ distinto de $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b) [1,75 puntos] Para $m = 0$ calcula, si es posible, la matriz $X$ que verifica $A^2X = \frac{1}{2}(A + B)$.** Primero, comprobamos si es posible resolver la ecuación. Para $m=0$, el determinante de $A$ es $\det(A) = 1 - 0 = 1 \neq 0$. Como vimos en el apartado anterior, si $\det(A) \neq 0$, entonces $A^2$ es invertible y la solución para $X$ existe y es única. Despejamos la matriz $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $A^2$: $$(A^2)^{-1} A^2 X = (A^2)^{-1} \frac{1}{2}(A + B)$$ $$X = \frac{1}{2} (A^2)^{-1} (A + B)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los factores es crucial. Si multiplicas por $(A^2)^{-1}$ por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Sustituimos $m=0$ en la matriz $A$ y calculamos la suma $A+B$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -4 & 8 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 4 & 12 & 20 \end{pmatrix}$$ $$A+B = \begin{pmatrix} 1-4 & 0+8 & 1+0 \\ 0+0 & 1+4 & 0+4 \\ 1+4 & -1+12 & 2+20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 8 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 5 & 11 & 22 \end{pmatrix}$$ Definimos $M = \frac{1}{2}(A+B)$: $$M = \begin{pmatrix} -3/2 & 4 & 1/2 \\ 0 & 5/2 & 2 \\ 5/2 & 11/2 & 11 \end{pmatrix}$$

Calculamos $A^2$ para $m=0$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1+0+1 & 0+0-1 & 1+0+2 \\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0 \\ 1+0+2 & 0-1-2 & 1+0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 5 \end{pmatrix}$$

Calculamos la inversa mediante la matriz adjunta: $(A^2)^{-1} = \frac{1}{|A^2|} \text{Adj}((A^2)^t)$. Sabemos que $|A^2| = (|A|)^2 = (1)^2 = 1$. Trasponemos $A^2$: $$(A^2)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & -3 \\ 3 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ Calculamos los adjuntos de los elementos de $(A^2)^t$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 5$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = -(-5 + 9) = -4$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -3$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 10 - 9 = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -3$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} = -(-6 + 3) = 3$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2$ $$(A^2)^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, multiplicamos $(A^2)^{-1}$ por $M$: $$X = \begin{pmatrix} 5 & -4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3/2 & 4 & 1/2 \\ 0 & 5/2 & 2 \\ 5/2 & 11/2 & 11 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones fila a fila: - Fila 1: $x_{11} = 5(-3/2) - 3(5/2) = -15/2 - 15/2 = -15$ $x_{12} = 5(4) - 4(5/2) - 3(11/2) = 20 - 10 - 33/2 = 10 - 16.5 = -6.5$ $x_{13} = 5(1/2) - 4(2) - 3(11) = 2.5 - 8 - 33 = -38.5$ - Fila 2: $x_{21} = 0 \cdot (-3/2) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (5/2) = 0$ $x_{22} = 0 \cdot 4 + 1 \cdot (5/2) + 0 \cdot (11/2) = 2.5$ $x_{23} = 0 \cdot (1/2) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 11 = 2$ - Fila 3: $x_{31} = -3(-3/2) + 3(0) + 2(5/2) = 9/2 + 10/2 = 19/2 = 9.5$ $x_{32} = -3(4) + 3(5/2) + 2(11/2) = -12 + 7.5 + 11 = 6.5$ $x_{33} = -3(1/2) + 3(2) + 2(11) = -1.5 + 6 + 22 = 26.5$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -15 & -13/2 & -77/2 \\ 0 & 5/2 & 2 \\ 19/2 & 13/2 & 53/2 \end{pmatrix}}$$