Análisis 2024 Andalucia
Primitiva de (polinomio)·e^x con condición de paso por un punto
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Sea $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la función definida por
$$f(x)=(x^2-3x+5)e^x.$$
Halla una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,5)$.
Paso 1
Buscar una primitiva de la forma F(x)=e^x P(x)
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Sea $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la función definida por
$$f(x)=(x^2-3x+5)e^x.$$
Halla una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,5)$.
Como $f(x)$ es un polinomio por $e^x$, intentamos una primitiva del tipo
$$F(x)=e^xP(x),$$
donde $P(x)$ es un polinomio.
Entonces,
$$F'(x)=e^xP(x)+e^xP'(x)=e^x\big(P(x)+P'(x)\big).$$
Queremos $F'(x)=f(x)=e^x(x^2-3x+5)$, así que debe cumplirse:
$$P(x)+P'(x)=x^2-3x+5.$$
Paso 2
Determinar el polinomio P(x) por identificación de coeficientes
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Sea $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la función definida por
$$f(x)=(x^2-3x+5)e^x.$$
Halla una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,5)$.
Como el lado derecho es de grado 2, tomamos
$$P(x)=ax^2+bx+c.$$
Entonces
$$P'(x)=2ax+b,$$
y
$$P(x)+P'(x)=ax^2+(b+2a)x+(c+b).$$
Igualamos con $x^2-3x+5$:
$$\begin{cases}
a=1,\\b+2a=-3,\\c+b=5.
\end{cases}$$
Sustituimos $a=1$:
$$b+2=-3\Rightarrow b=-5.$$
Luego:
$$c+(-5)=5\Rightarrow c=10.$$
Así,
$$P(x)=x^2-5x+10.$$
Paso 3
Imponer que la primitiva pase por (0,5)
EJERCICIO 4. (2,5 puntos)
Sea $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la función definida por
$$f(x)=(x^2-3x+5)e^x.$$
Halla una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,5)$.
Una primitiva general es
$$F(x)=e^x(x^2-5x+10)+C.$$
Imponemos $F(0)=5$:
$$F(0)=e^0(0-0+10)+C=10+C=5\Rightarrow C=-5.$$
Resultado:
$$\boxed{F(x)=e^x(x^2-5x+10)-5.}$$