Cálculo de una primitiva con condición inicial

**EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x$. Halla una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$.** Hallar una primitiva $F(x)$ de una función $f(x)$ consiste en calcular su integral indefinida: $$F(x) = \int (x^2 - 3x + 5)e^x \, dx$$ Para resolver esta integral, utilizaremos el método de **integración por partes**, ya que tenemos el producto de un polinomio por una función exponencial. 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). En este caso, el polinomio tiene prioridad para ser $u$.

Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = x^2 - 3x + 5 \implies du = (2x - 3) \, dx$ - $dv = e^x \, dx \implies v = \int e^x \, dx = e^x$ Aplicando la fórmula: $$I = (x^2 - 3x + 5)e^x - \int (2x - 3)e^x \, dx$$ Observamos que la nueva integral $\int (2x - 3)e^x \, dx$ todavía contiene un producto de un polinomio por una exponencial, por lo que debemos aplicar el método de partes una segunda vez.

Para resolver $I_2 = \int (2x - 3)e^x \, dx$, elegimos: - $u_1 = 2x - 3 \implies du_1 = 2 \, dx$ - $dv_1 = e^x \, dx \implies v_1 = e^x$ Aplicamos de nuevo la fórmula: $$I_2 = (2x - 3)e^x - \int 2e^x \, dx$$ $$I_2 = (2x - 3)e^x - 2e^x = (2x - 3 - 2)e^x = (2x - 5)e^x$$ Sustituimos este resultado en la expresión original de $I$: $$F(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x - \left[ (2x - 5)e^x \right] + C$$ $$F(x) = (x^2 - 3x + 5 - 2x + 5)e^x + C$$ $$F(x) = (x^2 - 5x + 10)e^x + C$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con el signo negativo delante de la integral al sustituir los resultados de la segunda aplicación de partes.

El enunciado indica que la gráfica de la primitiva debe pasar por el punto $(0, 5)$. Esto significa que $F(0) = 5$. Sustituimos $x = 0$ en nuestra expresión de la primitiva: $$F(0) = (0^2 - 5(0) + 10)e^0 + C = 5$$ $$10 \cdot 1 + C = 5$$ $$10 + C = 5 \implies C = 5 - 10 = -5$$ Por tanto, la constante es **$C = -5$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = (x^2 - 5x + 10)e^x - 5}$$