Cálculo de una primitiva con condiciones iniciales

Para hallar la función $f(x)$ conocida su derivada $f'(x)$, debemos calcular la integral indefinida: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4} \, dx$$ Se trata de una integral de una **función racional**. Como el grado del numerador ($2$) es igual al grado del denominador ($2$), lo primero que debemos hacer es realizar la división polinómica. 💡 **Tip:** En integrales racionales, si $\text{grado}(\text{numerador}) \ge \text{grado}(\text{denominador})$, siempre debemos dividir primero.

Dividimos $3x^2 + 4x + 12$ entre $x^2 - 4$: $$\begin{array}{r|l} 3x^2 + 4x + 12 & x^2 - 4 \\ \hline -3x^2 + 12 & 3 \\ \hline 4x + 24 & \end{array}$$ Obtenemos como cociente $C(x) = 3$ y como resto $R(x) = 4x + 24$. Por la propiedad de la división: $$\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \implies \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4} = 3 + \frac{4x + 24}{x^2 - 4}$$ Sustituimos en la integral: $$f(x) = \int \left( 3 + \frac{4x + 24}{x^2 - 4} \right) dx = 3x + \int \frac{4x + 24}{x^2 - 4} \, dx$$

Ahora descomponemos la fracción $\frac{4x + 24}{x^2 - 4}$ en fracciones simples. Factorizamos el denominador: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ Planteamos la descomposición: $$\frac{4x + 24}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$$ Sumando las fracciones: $$4x + 24 = A(x + 2) + B(x - 2)$$ Para hallar $A$ y $B$, damos valores a $x$: - Si $x = 2$: $4(2) + 24 = A(2 + 2) \implies 32 = 4A \implies \mathbf{A = 8}$ - Si $x = -2$: $4(-2) + 24 = B(-2 - 2) \implies 16 = -4B \implies \mathbf{B = -4}$ Por tanto: $$\frac{4x + 24}{x^2 - 4} = \frac{8}{x - 2} - \frac{4}{x + 2}$$

Integramos los términos obtenidos: $$f(x) = 3x + \int \left( \frac{8}{x - 2} - \frac{4}{x + 2} \right) dx$$ $$f(x) = 3x + 8 \ln|x - 2| - 4 \ln|x + 2| + C$$ Como el dominio de la función es $(2, +\infty)$, tanto $x-2$ como $x+2$ son siempre positivos, por lo que podemos prescindir de los valores absolutos: $$f(x) = 3x + 8 \ln(x - 2) - 4 \ln(x + 2) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Utilizamos el punto $(3, -4 \ln 5)$, lo que significa que $f(3) = -4 \ln 5$: $$f(3) = 3(3) + 8 \ln(3 - 2) - 4 \ln(3 + 2) + C = -4 \ln 5$$ $$9 + 8 \ln(1) - 4 \ln(5) + C = -4 \ln 5$$ Como $\ln(1) = 0$: $$9 - 4 \ln 5 + C = -4 \ln 5$$ Despejamos $C$: $$C = -9$$ La función buscada es: $$\boxed{f(x) = 3x + 8 \ln(x - 2) - 4 \ln(x + 2) - 9}$$