Recuperar una función a partir de su derivada con condición inicial

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Halla la función $f : (2,+\infty)\to\mathbb{R}$ que pasa por el punto $(3,-4\ln 5)$ y verifica $$f'(x)=\frac{3x^2+4x+12}{x^2-4}.$$ Como conocemos $f'(x)$, para hallar $f(x)$ integramos: $$f(x)=\int \frac{3x^2+4x+12}{x^2-4}\,dx + C.$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Halla la función $f : (2,+\infty)\to\mathbb{R}$ que pasa por el punto $(3,-4\ln 5)$ y verifica $$f'(x)=\frac{3x^2+4x+12}{x^2-4}.$$ Primero hacemos división: $$\frac{3x^2+4x+12}{x^2-4}=3+\frac{4x+24}{x^2-4}.$$ Factorizamos el denominador: $$x^2-4=(x-2)(x+2).$$ Descomponemos: $$\frac{4x+24}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}.$$ Multiplicando: $$4x+24=A(x+2)+B(x-2)=(A+B)x+(2A-2B).$$ Sistema: $$\begin{cases}A+B=4,\\2A-2B=24\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}A+B=4,\\A-B=12\end{cases}$$ De aquí: $$A=8,\quad B=-4.$$ Entonces: $$f'(x)=3+\frac{8}{x-2}-\frac{4}{x+2}.$$

EJERCICIO 3. (2,5 puntos) Halla la función $f : (2,+\infty)\to\mathbb{R}$ que pasa por el punto $(3,-4\ln 5)$ y verifica $$f'(x)=\frac{3x^2+4x+12}{x^2-4}.$$ Integramos término a término: $$\int 3\,dx=3x,$$ $$\int \frac{8}{x-2}\,dx=8\ln|x-2|,$$ $$\int \left(-\frac{4}{x+2}\right)dx=-4\ln|x+2|.$$ Así, $$f(x)=3x+8\ln|x-2|-4\ln|x+2|+C.$$ Como el dominio es $(2,+\infty)$, se cumple $x-2>0$ y $x+2>0$, luego: $$f(x)=3x+8\ln(x-2)-4\ln(x+2)+C.$$ Usamos que pasa por $(3,-4\ln 5)$: \begin{align*} -4\ln 5=f(3)&=3\cdot 3+8\ln(3-2)-4\ln(3+2)+C\\ &=9+8\ln(1)-4\ln(5)+C\\ &=9+0-4\ln 5+C. \end{align*} Entonces: $$9+C=0\Rightarrow C=-9.$$ Resultado: $$\boxed{f(x)=3x+8\ln(x-2)-4\ln(x+2)-9,\quad x>2.}$$