Estudio de curvatura y cálculo de límites

**a) [1,5 puntos] Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de $f$. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la curvatura (concavidad y convexidad) y los puntos de inflexión, debemos calcular la segunda derivada de la función $f(x) = \text{arctg }(x + \pi)$. Primero, calculamos la primera derivada utilizando la regla de la cadena para la función arcotangente $(\text{arctg } u)' = \frac{u'}{1+u^2}$: $$f'(x) = \frac{1}{1 + (x + \pi)^2}$$ Ahora, calculamos la segunda derivada tratando la expresión anterior como $(1 + (x + \pi)^2)^{-1}$: $$f''(x) = -1 \cdot (1 + (x + \pi)^2)^{-2} \cdot 2(x + \pi) = \frac{-2(x + \pi)}{(1 + (x + \pi)^2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\text{arctg}(x)$ es $\frac{1}{1+x^2}$. Si dentro hay una función $u(x)$, aplicamos la regla de la cadena: $\frac{u'(x)}{1+u(x)^2}$. $$\boxed{f'(x) = \frac{1}{1 + (x + \pi)^2}, \quad f''(x) = \frac{-2(x + \pi)}{(1 + (x + \pi)^2)^2}}$$

Para hallar los puntos de inflexión y los intervalos de curvatura, igualamos la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 0 \implies \frac{-2(x + \pi)}{(1 + (x + \pi)^2)^2} = 0 \implies -2(x + \pi) = 0 \implies x = -\pi$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por este punto. Notamos que el denominador $(1 + (x + \pi)^2)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo depende solo del numerador $-2(x + \pi)$. **Tabla de signos de $f''(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -\pi) & -\pi & (-\pi, +\infty)\\ \hline -2(x+\pi) & + & 0 & -\\ (1+(x+\pi)^2)^2 & + & + & +\\ \hline f''(x) & + & 0 & - \end{array}$$ Siguiendo el criterio de Bachillerato: - En $(-\infty, -\pi)$, $f''(x) > 0$, la función es **convexa** ($\cup$). - En $(-\pi, +\infty)$, $f''(x) < 0$, la función es **cóncava** ($\cap$). Como hay un cambio de curvatura en $x = -\pi$, existe un **punto de inflexión**. 💡 **Tip:** En muchos libros de texto se usa el término "cóncava hacia arriba" para la convexidad ($\cup$) y "cóncava hacia abajo" para la concavidad ($\cap$). Asegúrate de seguir la nomenclatura de tu examen. $$\boxed{\text{Convexa en } (-\infty, -\pi) \text{ y Cóncava en } (-\pi, +\infty)}$$

Hemos determinado que la abscisa del punto de inflexión es $x = -\pi$. Ahora calculamos el valor de la función en ese punto: $$f(-\pi) = \text{arctg }(-\pi + \pi) = \text{arctg }(0) = 0$$ Por tanto, el punto de inflexión se alcanza en la abscisa $x = -\pi$ y el valor que se alcanza es $f(-\pi) = 0$. ✅ **Resultado (Punto de Inflexión):** $$\boxed{I(-\pi, 0)}$$

**b) [1 punto] Calcula $\displaystyle \lim_{x \to -\pi} \frac{\text{arctg }(x + \pi)}{\text{sen }(x)}.** Primero, evaluamos el límite directamente para comprobar si hay una indeterminación: $$\lim_{x \to -\pi} \frac{\text{arctg }(x + \pi)}{\text{sen }(x)} = \frac{\text{arctg }(-\pi + \pi)}{\text{sen }(-\pi)} = \frac{\text{arctg }(0)}{0} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ y las funciones son derivables en un entorno de $-\pi$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to -\pi} \frac{\text{arctg }(x + \pi)}{\text{sen }(x)} = \lim_{x \to -\pi} \frac{\frac{d}{dx} [\text{arctg }(x + \pi)]}{\frac{d}{dx} [\text{sen }(x)]}$$ Calculamos las derivadas: - Numerador: $(\text{arctg }(x + \pi))' = \frac{1}{1 + (x + \pi)^2}$ - Denominador: $(\text{sen }(x))' = \cos(x)$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to -\pi} \frac{\frac{1}{1 + (x + \pi)^2}}{\cos(x)} = \frac{\frac{1}{1 + (-\pi + \pi)^2}}{\cos(-\pi)} = \frac{\frac{1}{1 + 0}}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ 💡 **Tip:** Al aplicar L'Hôpital, deriva el numerador y el denominador por separado, no como un cociente. ✅ **Resultado (Límite):** $$\boxed{-1}$$