Curvatura, puntos de inflexión y límites

**a) [1,5 puntos] Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de $f$. Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la curvatura (concavidad y convexidad) y los puntos de inflexión, debemos calcular la segunda derivada de la función $f(x) = \text{arc tg}(x + \pi)$. Derivamos la función arcotangente usando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{1 + (x + \pi)^2}$$ Para facilitar la segunda derivada, expresamos $f'(x)$ como una potencia: $$f'(x) = (1 + (x + \pi)^2)^{-1}$$ Calculamos ahora $f''(x)$: $$f''(x) = -1 \cdot (1 + (x + \pi)^2)^{-2} \cdot [2(x + \pi)] = \frac{-2(x + \pi)}{(1 + (x + \pi)^2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\text{arc tg}(u)$ es $\frac{u'}{1+u^2}$. Aquí $u = x+\pi$ y $u' = 1$. $$\boxed{f''(x) = \frac{-2(x + \pi)}{(1 + (x + \pi)^2)^2}}$$

Para hallar los posibles puntos de inflexión y los intervalos de curvatura, igualamos la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 0 \implies -2(x + \pi) = 0 \implies x = -\pi$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos determinados por el punto crítico $x = -\pi$. Observamos que el denominador $(1 + (x + \pi)^2)^2$ es siempre positivo por estar elevado al cuadrado, por lo que el signo depende únicamente del numerador $-2(x + \pi)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -\pi) & -\pi & (-\pi, +\infty)\\ \hline -2(x+\pi) & + & 0 & -\\ (1+(x+\pi)^2)^2 & + & + & +\\ \hline f''(x) & + & 0 & -\\ \text{Curvatura} & \cup \text{ (Convexa)} & \text{Inflexión} & \cap \text{ (Cóncava)} \end{array}$$ 💡 **Tip:** En el contexto de Bachillerato, $f''(x) > 0$ indica que la función es **convexa** (forma de U) y $f''(x) < 0$ indica que es **cóncava** (forma de campana).

A partir de la tabla anterior concluimos: - **Intervalo de convexidad ($f''>0$):** $(-\infty, -\pi)$ - **Intervalo de concavidad ($f''<0$):** $(-\pi, +\infty)$ Como en $x = -\pi$ hay un cambio de curvatura y la función es continua en ese punto, existe un **punto de inflexión**. Calculamos su ordenada: $$f(-\pi) = \text{arc tg}(-\pi + \pi) = \text{arc tg}(0) = 0$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{Convexa en } (-\infty, -\pi), \text{ Cóncava en } (-\pi, +\infty). \text{ P.I. en } (-\pi, 0)}$$

**b) [1 punto] Calcula $\lim_{x \to -\pi} \frac{\text{arc tg} (x + \pi)}{\text{sen} (x)}.** Primero evaluamos el límite directamente para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to -\pi} \frac{\text{arc tg} (x + \pi)}{\text{sen} (x)} = \frac{\text{arc tg}(0)}{\text{sen}(-\pi)} = \frac{0}{0}$$ Al obtener una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ en una función continua y derivable cerca del punto, aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: $$\lim_{x \to -\pi} \frac{\text{arc tg}(x + \pi)}{\text{sen}(x)} = \lim_{x \to -\pi} \frac{\frac{d}{dx}(\text{arc tg}(x + \pi))}{\frac{d}{dx}(\text{sen}(x))}$$ Usamos las derivadas ya conocidas: $$\lim_{x \to -\pi} \frac{\frac{1}{1 + (x + \pi)^2}}{\cos(x)}$$ Sustituimos el valor $x = -\pi$: $$\frac{\frac{1}{1 + (-\pi + \pi)^2}}{\cos(-\pi)} = \frac{\frac{1}{1 + 0}}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\cos(-\pi) = -1$ y que para usar L'Hôpital debes indicar que se cumple la indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{-1}$$