Asíntota oblicua y parámetros en una función racional

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Sea $f$ la función definida por $$f(x)=\frac{ax^3+bx^2+x-1}{x^2-1},\ \text{para } x\ne \pm 1.$$ Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(0,1)$ y es paralela a la recta $y=2x$, calcula la asíntota oblicua y los valores de $a$ y $b$. Si una recta es paralela a $y=2x$, entonces tiene la misma pendiente $2$. Por tanto, la asíntota oblicua tiene forma $$y=2x+n.$$ Además, pasa por $(0,1)$, así que $$1=2\cdot 0+n\Rightarrow n=1.$$ Luego la asíntota oblicua debe ser **$\boxed{y=2x+1}$**.

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Sea $f$ la función definida por $$f(x)=\frac{ax^3+bx^2+x-1}{x^2-1},\ \text{para } x\ne \pm 1.$$ Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(0,1)$ y es paralela a la recta $y=2x$, calcula la asíntota oblicua y los valores de $a$ y $b$. La asíntota oblicua de una función racional (grado 3 arriba y grado 2 abajo) se obtiene haciendo la división: $$ax^3+bx^2+x-1=(\text{cociente})(x^2-1)+\text{resto}.$$ El cociente será de la forma $mx+n$ y coincide con la asíntota oblicua. El primer término del cociente se obtiene con los términos de mayor grado: $$\frac{ax^3}{x^2}=ax.$$ Así, la pendiente del cociente es $a$. Como la asíntota es paralela a $y=2x$, su pendiente es $2$, luego $$\boxed{a=2}.$$

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) Sea $f$ la función definida por $$f(x)=\frac{ax^3+bx^2+x-1}{x^2-1},\ \text{para } x\ne \pm 1.$$ Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(0,1)$ y es paralela a la recta $y=2x$, calcula la asíntota oblicua y los valores de $a$ y $b$. Sustituimos $a=2$ en el numerador: $$2x^3+bx^2+x-1.$$ Dividimos entre $x^2-1$: 1) Primer término: $2x$. Multiplicamos: $$(x^2-1)(2x)=2x^3-2x.$$ Restamos: $$(2x^3+bx^2+x-1)-(2x^3-2x)=bx^2+3x-1.$$ 2) Siguiente término: $b$. Multiplicamos: $$(x^2-1)b=bx^2-b.$$ Restamos: $$(bx^2+3x-1)-(bx^2-b)=3x+(b-1).$$ Así, $$f(x)=2x+b+\frac{3x+(b-1)}{x^2-1}.$$ La asíntota oblicua es el cociente $y=2x+b$. Como ya sabemos que debe ser $y=2x+1$, se impone $$b=1.$$ Conclusión final: - Asíntota oblicua: **$\boxed{y=2x+1}$**. - Parámetros: **$\boxed{a=2,\ b=1}$**.