Cálculo de parámetros en una función con asíntota oblicua

**Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x^2 - 1}$, para $x \neq \pm 1$. Sabiendo que su gráfica tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(0, 1)$ y es paralela a la recta $y = 2x$, calcula la asíntota oblicua y los valores de $a$ y $b$.** Una asíntota oblicua tiene la forma $y = mx + n$. El enunciado nos da dos condiciones clave para determinarla: 1. Es **paralela a la recta $y = 2x$**: Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo tanto, la pendiente de nuestra asíntota es $m = 2$. 2. **Pasa por el punto $(0, 1)$**: Este punto es la ordenada en el origen, lo que significa que cuando $x = 0$, $y = 1$. Sustituyendo en $y = mx + n$, tenemos $1 = 2(0) + n$, de donde obtenemos $n = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente $m$ de una recta $y = mx + n$ define su dirección. Si dos rectas son paralelas, entonces $m_1 = m_2$. ✅ **Resultado (Asíntota):** $$\boxed{y = 2x + 1}$$

Para una función racional $f(x)$, la pendiente $m$ de la asíntota oblicua se calcula mediante el límite: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$$ Sustituimos la expresión de nuestra función y el valor de $m = 2$: $$2 = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x^2 - 1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^3 + bx^2 + x - 1}{x^3 - x}$$ Como es un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 3), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$2 = \frac{a}{1} \implies a = 2$$ 💡 **Tip:** En límites al infinito de funciones racionales, si el grado del numerador es igual al del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a = 2}$$

La ordenada en el origen $n$ de la asíntota oblicua se calcula mediante el límite: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx)$$ Sabemos que $n = 1$, $m = 2$ y $a = 2$. Planteamos la ecuación: $$1 = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^3 + bx^2 + x - 1}{x^2 - 1} - 2x \right)$$ Realizamos la operación de resta buscando un denominador común: $$1 = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + bx^2 + x - 1 - 2x(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$$ $$1 = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + bx^2 + x - 1 - 2x^3 + 2x}{x^2 - 1}$$ $$1 = \lim_{x \to \infty} \frac{bx^2 + 3x - 1}{x^2 - 1}$$ Nuevamente, al ser un límite al infinito con polinomios del mismo grado (grado 2), el límite es el cociente de los coeficientes: $$1 = \frac{b}{1} \implies b = 1$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{b = 1}$$

Los valores calculados son $a = 2$ y $b = 1$, y la asíntota oblicua es la recta $y = 2x + 1$. Podemos comprobar que si dividimos los polinomios directamente: $$(2x^3 + x^2 + x - 1) : (x^2 - 1) = 2x + 1$$ con un resto de $3x$. Como el cociente de la división polinómica es $2x+1$, esto confirma que la asíntota es efectivamente $y=2x+1$. Visualmente, la función se aproxima a la recta cuando $x$ tiende a infinito: