Ángulo entre vectores y operaciones vectoriales

**a) [1 punto] Calcula $a$ para que ambos vectores formen un ángulo de $\pi/3$ radianes.** Para que dos vectores formen un ángulo $\theta$, utilizamos la relación del producto escalar: $$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ Primero, calculamos el producto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-2) + (a)(1) + (2)(a) = -2 + a + 2a = 3a - 2$$ Ahora calculamos los módulos de cada vector: $$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + a^2 + 2^2} = \sqrt{1 + a^2 + 4} = \sqrt{a^2 + 5}$$ $$|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + a^2} = \sqrt{4 + 1 + a^2} = \sqrt{a^2 + 5}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto escalar se calcula sumando el producto de las componentes correspondientes: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$.

Sustituimos los valores en la fórmula sabiendo que $\theta = \pi/3$ y que $\cos(\pi/3) = 1/2$: $$\frac{1}{2} = \frac{3a - 2}{\sqrt{a^2 + 5} \cdot \sqrt{a^2 + 5}} = \frac{3a - 2}{a^2 + 5}$$ Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores: $$a^2 + 5 = 2(3a - 2)$$ $$a^2 + 5 = 6a - 4$$ $$a^2 - 6a + 9 = 0$$ Esta es una ecuación de segundo grado que podemos identificar como un binomio al cuadrado: $$(a - 3)^2 = 0 \implies a - 3 = 0 \implies a = 3$$ Comprobamos que para $a=3$, el producto escalar $3(3)-2 = 7$ es positivo, lo cual es coherente con un coseno positivo ($1/2$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula $a$ para que el vector $(\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v}$ sea ortogonal a $\vec{u}$.** Primero, calculamos el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ mediante el determinante: $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & a & 2 \\ -2 & 1 & a \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila (Sarrus): $$\vec{u} \times \vec{v} = (a^2 - 2)\vec{i} - (a - (-4))\vec{j} + (1 - (-2a))\vec{k}$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = (a^2 - 2)\vec{i} - (a + 4)\vec{j} + (1 + 2a)\vec{k}$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = (a^2 - 2, -a - 4, 1 + 2a)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ es siempre un vector perpendicular tanto a $\vec{u}$ como a $\vec{v}$. Esto significa que $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} = 0$.

Definimos el vector $\vec{w} = (\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v}$: $$\vec{w} = (a^2 - 2, -a - 4, 1 + 2a) - (-2, 1, a)$$ $$\vec{w} = (a^2 - 2 + 2, -a - 4 - 1, 1 + 2a - a)$$ $$\vec{w} = (a^2, -a - 5, 1 + a)$$ Para que $\vec{w}$ sea ortogonal a $\vec{u}$, su producto escalar debe ser cero: $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$. $$(a^2, -a - 5, 1 + a) \cdot (1, a, 2) = 0$$ $$a^2(1) + (-a - 5)(a) + (1 + a)(2) = 0$$ $$a^2 - a^2 - 5a + 2 + 2a = 0$$ 💡 **Tip:** Dos vectores son ortogonales si y solo si su producto escalar es nulo.

Simplificamos la expresión obtenida en el paso anterior: $$-3a + 2 = 0$$ $$3a = 2$$ $$a = \frac{2}{3}$$ Podríamos haber llegado a este resultado más rápido usando propiedades: $((\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v}) \cdot \vec{u} = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{u} = 0 - \vec{v} \cdot \vec{u} = - (3a - 2)$. Igualando a cero: $-(3a - 2) = 0 \implies a = 2/3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{2}{3}}$$