Condiciones con producto escalar y producto vectorial

Apartado a) [1 punto] Calcula $a$ para que ambos vectores formen un ángulo de $\pi/3$ radianes. Sabemos que $$\cos\theta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}.$$ Aquí $\theta=\pi/3$, y $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.$$ Calculamos el producto escalar: \begin{align*} \vec u\cdot\vec v&=(1)(-2)+a\cdot 1+2\cdot a\\ &=-2+a+2a=-2+3a. \end{align*} Calculamos normas: $$\|\vec u\|^2=1^2+a^2+2^2=a^2+5,$$ $$\|\vec v\|^2=(-2)^2+1^2+a^2=a^2+5.$$ Luego $$\|\vec u\|\,\|\vec v\|=\sqrt{a^2+5}\,\sqrt{a^2+5}=a^2+5.$$

Apartado a) [1 punto] Calcula $a$ para que ambos vectores formen un ángulo de $\pi/3$ radianes. Imponemos: $$\frac{-2+3a}{a^2+5}=\frac{1}{2}.$$ Multiplicamos en cruz: $$2(-2+3a)=a^2+5.$$ Desarrollamos: $$-4+6a=a^2+5\Rightarrow 0=a^2-6a+9.$$ Factorizamos: $$a^2-6a+9=(a-3)^2.$$ Entonces: $$a-3=0\Rightarrow \boxed{a=3}.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula $a$ para que el vector $(\vec u\times\vec v)-\vec v$ sea ortogonal a $\vec u$. La condición de ortogonalidad es: $$\vec u\cdot\bigl((\vec u\times\vec v)-\vec v\bigr)=0.$$ Distribuimos el producto escalar: $$\vec u\cdot(\vec u\times\vec v)-\vec u\cdot\vec v=0.$$ Pero siempre se cumple que $$\vec u\cdot(\vec u\times\vec v)=0,$$ porque $\vec u\times\vec v$ es perpendicular a $\vec u$. Así, la condición se reduce a: $$-\vec u\cdot\vec v=0\Rightarrow \vec u\cdot\vec v=0.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula $a$ para que el vector $(\vec u\times\vec v)-\vec v$ sea ortogonal a $\vec u$. Ya calculamos antes: $$\vec u\cdot\vec v=-2+3a.$$ Imponemos: $$-2+3a=0\Rightarrow 3a=2\Rightarrow \boxed{a=\frac{2}{3}}.$$