Intersección de rectas y recta perpendicular común

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula $a$ para que las rectas se corten. Parametrizamos $r$ usando $x=t$: $$x=t,$$ como $x=y+a$: $$y=t-a,$$ y como $x=\dfrac{z+1}{2}$: $$t=\frac{z+1}{2}\Rightarrow z=2t-1.$$ Así, $$r(t)=(t,\ t-a,\ 2t-1),\quad t\in\mathbb{R}.$$ Para $s$, tomamos $y=u$ como parámetro. De $x-2y=3a$: $$x=3a+2u.$$ Y de $x+z=2$: $$z=2-x=2-(3a+2u)=2-3a-2u.$$ Así, $$s(u)=(3a+2u,\ u,\ 2-3a-2u),\quad u\in\mathbb{R}.$$

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula $a$ para que las rectas se corten. Si se cortan, existen $t$ y $u$ tales que $r(t)=s(u)$. Igualamos coordenadas: $$\begin{cases} t=3a+2u,\\ t-a=u,\\ 2t-1=2-3a-2u. \end{cases}$$ De la segunda: $$u=t-a.$$ Sustituimos en la primera: $$t=3a+2(t-a)=3a+2t-2a=a+2t\Rightarrow -t=a\Rightarrow t=-a.$$ Entonces $$u=t-a=-a-a=-2a.$$ Sustituimos en la tercera: $$2t-1=2-3a-2u.$$ Lado izquierdo: $$2t-1=2(-a)-1=-2a-1.$$ Lado derecho (con $u=-2a$): $$2-3a-2(-2a)=2-3a+4a=2+a.$$ Igualamos: $$-2a-1=2+a\Rightarrow -3a=3\Rightarrow a=-1.$$ Conclusión: **las rectas se cortan si y solo si $a=-1$**.

Apartado b) [1,25 puntos] Para $a=-1$, halla la recta que corta perpendicularmente a $r$ y $s$. Primero localizamos el punto de corte (porque si se cortan, una recta por el punto de corte puede ser perpendicular a ambas). Con $a=-1$, del apartado a) se obtuvo $t=-a=1$. Entonces el punto en $r$ es: $$P=r(1)=(1,\ 1-(-1),\ 2\cdot1-1)=(1,2,1).$$ (Comprobación en $s$: con $a=-1$, $u=-2a=2$ y $$s(2)=(3(-1)+4,\ 2,\ 2-3(-1)-4)=(1,2,1).)$$ Por tanto, el punto de corte es **$P(1,2,1)$**.

Apartado b) [1,25 puntos] Para $a=-1$, halla la recta que corta perpendicularmente a $r$ y $s$. Vectores directores: - Para $r(t)=(t,\ t-a,\ 2t-1)$, el vector director es $$\vec v_r=(1,1,2).$$ - Para $s(u)=(3a+2u,\ u,\ 2-3a-2u)$, el vector director es $$\vec v_s=(2,1,-2).$$ Una dirección perpendicular a ambas es el producto vectorial: $$\vec v=\vec v_r\times \vec v_s= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&1&2\\ 2&1&-2 \end{vmatrix}=(-4,6,-1).$$ La recta buscada pasa por $P(1,2,1)$ y tiene dirección $(-4,6,-1)$: $$\boxed{\ell:\ (x,y,z)=(1,2,1)+t(-4,6,-1),\ t\in\mathbb{R}.}$$ Equivalente: $$\boxed{\begin{cases} x=1-4t,\\ y=2+6t,\\ z=1-t. \end{cases}}$$