Intersección de rectas y perpendicular común

**a) [1,25 puntos] Calcula $a$ para que las rectas se corten.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r \equiv x = y + a = \frac{z + 1}{2}$: Su forma continua se puede escribir como $\frac{x-0}{1} = \frac{y-(-a)}{1} = \frac{z-(-1)}{2}$. - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 1, 2)$ - Punto de la recta: $P_r(0, -a, -1)$ Para la recta $s \equiv \begin{cases} x - 2y = 3a \\ x + z = 2 \end{cases}$: Calculamos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2-0) - \vec{j}(1-0) + \vec{k}(0-(-2)) = (-2, -1, 2).$$ Para obtener un punto $P_s$, fijamos una coordenada, por ejemplo $x = a$: $a - 2y = 3a \implies -2y = 2a \implies y = -a$ $a + z = 2 \implies z = 2 - a$ - Vector director: $\vec{v}_s = (-2, -1, 2)$ o también $\vec{v}_s = (2, 1, -2)$ - Punto de la recta: $P_s(a, -a, 2-a)$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos se obtiene con el producto vectorial de los coeficientes $(A, B, C)$ de ambos planos.

Para que dos rectas se corten en un punto, deben ser coplanarias (estar en el mismo plano) y sus vectores directores no deben ser proporcionales. 1. **Comprobamos que no son paralelas:** $\vec{v}_r = (1, 1, 2)$ y $\vec{v}_s = (2, 1, -2)$. No existe $k$ tal que $(1, 1, 2) = k(2, 1, -2)$, por lo que las rectas no son paralelas ni coincidentes. 2. **Condición de coplanaridad:** Las rectas se cortarán si el determinante formado por $(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$ es igual a cero. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (a - 0, -a - (-a), 2 - a - (-1)) = (a, 0, 3 - a).$$ Planteamos el determinante: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 3-a \end{vmatrix} = 0.$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, el volumen del paralelepípedo es nulo, lo que significa que los tres vectores están en el mismo plano.

Resolvemos el determinante mediante la regla de Sarrus: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 3-a \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (3-a) + 2 \cdot 0 \cdot 2 + a \cdot 1 \cdot (-2)] - [2 \cdot 1 \cdot a + (-2) \cdot 0 \cdot 1 + (3-a) \cdot 1 \cdot 2]$$ $$= [3 - a + 0 - 2a] - [2a + 0 + 6 - 2a]$$ $$= (3 - 3a) - (6) = -3a - 3.$$ Igualamos a cero para que se corten: $$-3a - 3 = 0 \implies -3a = 3 \implies a = -1.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1}$$

**b) [1,25 puntos] Para $a = -1$, halla la recta que corta perpendicularmente a $r$ y $s$.** Como para $a = -1$ las rectas se cortan, la perpendicular común será la recta que pasa por el punto de corte $Q$ y tiene como dirección el producto vectorial de los vectores directores de $r$ y $s$. Primero, hallamos el punto de corte $Q$ para $a = -1$: Recta $r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda + 1 \\ z = 2\lambda - 1 \end{cases}$ Recta $s \equiv \begin{cases} x - 2y = -3 \\ x + z = 2 \end{cases}$ Sustituimos las expresiones de $r$ en la primera ecuación de $s$: $$\lambda - 2(\lambda + 1) = -3 \implies \lambda - 2\lambda - 2 = -3 \implies -\lambda = -1 \implies \lambda = 1.$$ Calculamos las coordenadas de $Q$ usando $\lambda = 1$ en $r$: $x = 1$ $y = 1 + 1 = 2$ $z = 2(1) - 1 = 1$ El punto de intersección es **$Q(1, 2, 1)$**.

La dirección de la recta perpendicular a $r$ y $s$ viene dada por el producto vectorial $\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s$. $$\vec{v}_t = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por adjuntos de la primera fila: $$\vec{v}_t = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_t = \vec{i}(-2-2) - \vec{j}(-2-4) + \vec{k}(1-2) = -4\vec{i} + 6\vec{j} - 1\vec{k} = (-4, 6, -1).$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector que es simultáneamente perpendicular a los dos vectores originales.

Ya tenemos el punto $Q(1, 2, 1)$ y el vector director $\vec{v}_t = (-4, 6, -1)$. La ecuación de la recta $t$ en forma paramétrica es: $$t \equiv \begin{cases} x = 1 - 4\mu \\ y = 2 + 6\mu \\ z = 1 - \mu \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x - 1}{-4} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z - 1}{-1}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \equiv \frac{x - 1}{-4} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z - 1}{-1}}$$