Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetro

**a) [1,75 puntos] Determina los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado.** El sistema dado tiene la forma $AX = mX$. Para discutirlo mediante el Teorema de Rouché-Frobenius, lo reescribimos como un sistema homogéneo de la forma $(A - mI)X = 0$: $$\begin{pmatrix} 5 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - m \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Agrupando los términos con las incógnitas, la matriz de coeficientes $M$ es: $$M = \begin{pmatrix} 5-m & -2 & -3 \\ 2 & -m & -2 \\ 3 & -2 & -1-m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Será **compatible indeterminado** si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de $M$, $|M|$, aplicando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 5-m & -2 & -3 \\ 2 & -m & -2 \\ 3 & -2 & -1-m \end{vmatrix}$$ $$|M| = (5-m)(-m)(-1-m) + (-2)(-2)(3) + (-3)(2)(-2) - [3(-m)(-3) + (-2)(2)(5-m) + (-1-m)(-2)(-2)]$$ Operamos con cuidado: 1. Diagonales principales: $$(5-m)(m^2+m) + 12 + 12 = 5m^2+5m-m^3-m^2 + 24 = -m^3 + 4m^2 + 5m + 24$$ 2. Diagonales secundarias: $$[9m - 4(5-m) + 4(-1-m)] = [9m - 20 + 4m - 4 - 4m] = 9m - 24$$ Restamos ambos resultados: $$|M| = -m^3 + 4m^2 + 5m + 24 - (9m - 24) = -m^3 + 4m^2 - 4m + 48$$ *Nota: Al revisar el cálculo expandiendo por adjuntos de la segunda fila:* $$-2\begin{vmatrix} -2 & -3 \\ -2 & -1-m \end{vmatrix} + (-m)\begin{vmatrix} 5-m & -3 \\ 3 & -1-m \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} 5-m & -2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$$ $$= -2(2+2m-6) -m(m^2-4m-5+9) + 2(-10+2m+6) = -4m+8-m^3+4m^2-4m+4m-8 = -m^3+4m^2-4m.$$ Igualamos a cero: $$-m^3 + 4m^2 - 4m = 0 \implies -m(m^2 - 4m + 4) = 0 \implies -m(m-2)^2 = 0$$ Las raíces son **$m = 0$** y **$m = 2$**.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para el sistema homogéneo: 1. **Si $m \neq 0$ y $m \neq 2$**: $|M| \neq 0 \implies \text{rango}(M) = 3 = n^\circ \text{ incógnitas}$. El sistema es **Compatible Determinado** (solo la solución trivial). 2. **Si $m = 0$**: $|M| = 0$. La matriz es $M = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$. Como $\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$, el $\text{rango}(M) = 2$. Al ser $\text{rango}(M) \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. 3. **Si $m = 2$**: $|M| = 0$. La matriz es $M = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -3 \\ 2 & -2 & -2 \\ 3 & -2 & -3 \end{pmatrix}$. Observamos que $F_1 = F_3$. Tomamos el menor $\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -6 + 4 = -2 \neq 0$, por lo que el $\text{rango}(M) = 2$. Al ser $\text{rango}(M) \lt 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 0 \text{ y } m = 2}$$

**b) [0,75 puntos] Para $m = 2$ resuelve el sistema, si es posible.** Sustituimos $m = 2$ en el sistema homogéneo: $$\begin{cases} 3x - 2y - 3z = 0 \\ 2x - 2y - 2z = 0 \\ 3x - 2y - 3z = 0 \end{cases}$$ Como hemos visto, $F_1 = F_3$, por lo que el sistema se reduce a dos ecuaciones independientes. Usamos $z = \lambda$ como parámetro: 1. De la segunda ecuación (simplificada): $x - y - z = 0 \implies y = x - \lambda$. 2. Sustituimos en la primera: $3x - 2(x - \lambda) - 3\lambda = 0$. $$3x - 2x + 2\lambda - 3\lambda = 0 \implies x - \lambda = 0 \implies x = \lambda.$$ 3. Hallamos $y$: $y = \lambda - \lambda = 0$. Las soluciones son de la forma: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, 0, \lambda)}$$