Determinantes y ecuaciones matriciales

**a) [1 punto] Sabiendo que el determinante de $A$ es $5$, calcula $D = \begin{vmatrix} x-1 & y-1 & z-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}$, indicando las propiedades que utilizas.** Partimos del determinante que queremos calcular. Para acercarnos a la forma del determinante de $A$, aplicamos la propiedad: *el valor de un determinante no varía si a una fila se le suma una combinación lineal de las demás*. Sustituimos la primera fila ($F_1$) por $F_1 + F_2$: $$D = \begin{vmatrix} (x-1)+1 & (y-1)+1 & (z-1)+1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Buscamos eliminar los "$-1$" de la primera fila aprovechando que la segunda fila está compuesta por unos.

Ahora aplicamos la misma propiedad a la tercera fila ($F_3$) para que se parezca a la segunda fila de $A$. Sustituimos $F_3$ por $F_3 - F_2$: $$D = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4-1 & 1-1 & 3-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sumar o restar filas entre sí, el valor del determinante permanece inalterado.

Observamos que el determinante obtenido tiene las mismas filas que $A$, pero en diferente orden. Para que coincida con $|A|$, intercambiamos la segunda fila ($F_2$) con la tercera fila ($F_3$). Propiedad: *Si se intercambian dos filas entre sí, el determinante cambia de signo*. $$D = - \begin{vmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -|A|$$ Como el enunciado indica que $|A| = 5$, entonces: $$D = -5$$ ✅ **Resultado (determinante):** $$\boxed{D = -5}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula los valores $(x, y, z)$ tales que $B \cdot A = C$.** Primero, calculamos el producto de la matriz $B$ ($1 \times 3$) por la matriz $A$ ($3 \times 3$): $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos fila por columna: - Primera componente: $1 \cdot x + y \cdot 3 + z \cdot 1 = x + 3y + z$ - Segunda componente: $1 \cdot y + y \cdot 0 + z \cdot 1 = y + z$ - Tercera componente: $1 \cdot z + y \cdot 2 + z \cdot 1 = z + 2y + z = 2y + 2z$ $$B \cdot A = \begin{pmatrix} x + 3y + z & y + z & 2y + 2z \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En el producto matricial $M \times N$, el elemento en la posición $(i, j)$ es la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de $M$ por la columna $j$ de $N$.

Igualamos el resultado obtenido a la matriz $C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$: $$\begin{cases} x + 3y + z = 3 \\ y + z = 0 \\ 2y + 2z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la tercera ecuación ($2y + 2z = 0$) es proporcional a la segunda ($y + z = 0$), por lo que el sistema es **compatible indeterminado** (tiene infinitas soluciones). De la segunda ecuación: $z = -y$. Sustituimos en la primera ecuación: $$x + 3y + (-y) = 3 \Rightarrow x + 2y = 3 \Rightarrow x = 3 - 2y$$ Usando un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ para la variable libre $y$, tenemos: - $y = \lambda$ - $x = 3 - 2\lambda$ - $z = -\lambda$ ✅ **Resultado (valores de x, y, z):** $$\boxed{(x, y, z) = (3 - 2\lambda, \lambda, -\lambda) \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$