Propiedades de determinantes y ecuaciones matriciales

**a) [1 punto] Sabiendo que el determinante de $A$ es 5, calcula $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$, indicando las propiedades que utilizas.** Llamamos $\Delta$ al determinante que queremos calcular. Para relacionarlo con $|A|$, aplicamos la propiedad de que **el valor de un determinante no varía si a una fila se le suma una combinación lineal de las demás**. En la primera fila ($F_1$), realizamos la operación $F_1 \to F_1 + F_2$: $$\Delta = \begin{vmatrix} (x - 1) + 1 & (y - 1) + 1 & (z - 1) + 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es muy útil para eliminar términos constantes cuando tenemos variables sumadas a números, siempre que esos números coincidan con otra fila o columna.

Ahora operamos con la tercera fila ($F_3$) para que se parezca a la de la matriz $A$. Aplicamos $F_3 \to F_3 - F_2$: $$\Delta = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 - 1 & 1 - 1 & 3 - 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Para obtener exactamente la disposición de $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, debemos intercambiar $F_2$ y $F_3$. Al hacerlo, el determinante cambia de signo: $$\Delta = - \begin{vmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = - |A|$$ Como el enunciado nos dice que $|A| = 5$, entonces: $$\Delta = -5$$ ✅ **Resultado (determinante):** $$\boxed{-5}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula los valores $(x, y, z)$ tales que $B \cdot A = C$.** Realizamos el producto de la matriz fila $B$ ($1 \times 3$) por la matriz $A$ ($3 \times 3$): $$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada componente del vector resultante: - Primera componente: $1 \cdot x + y \cdot 3 + z \cdot 1 = x + 3y + z$ - Segunda componente: $1 \cdot y + y \cdot 0 + z \cdot 1 = y + z$ - Tercera componente: $1 \cdot z + y \cdot 2 + z \cdot 1 = 2y + 2z$ Igualamos el resultado a la matriz $C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$: $$\begin{pmatrix} x + 3y + z & y + z & 2y + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda.

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + 3y + z = 3 \\ y + z = 0 \\ 2y + 2z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la tercera ecuación es redundante (es el doble de la segunda), por lo que tenemos un sistema con 2 ecuaciones y 3 incógnitas (Sistema Compatible Indeterminado). De la segunda ecuación: $$z = -y$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$x + 3y + (-y) = 3 \implies x + 2y = 3 \implies x = 3 - 2y$$ Si parametrizamos haciendo $y = \lambda$: - $x = 3 - 2\lambda$ - $y = \lambda$ - $z = -\lambda$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (3 - 2\lambda, \lambda, -\lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$