Cálculo de una primitiva mediante cambio de variable e integración por partes

Para simplificar la integral, realizamos un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada y el binomio $(x-1)$. Sea el cambio de variable: $$x - 1 = t^2 \implies dx = 2t \, dt$$ De aquí observamos que $\sqrt{x - 1} = t$ (asumiendo $t > 0$ dado que $x > 1$ para que el logaritmo exista). Sustituimos estas expresiones en la integral indefinida $F(x) = \int f(x) \, dx$: $$F(x) = \int (t^2)^2 \ln \left( \frac{t}{2} \right) \cdot 2t \, dt$$ $$F(x) = \int 2t^5 \ln \left( \frac{t}{2} \right) \, dt$$ 💡 **Tip:** El cambio de variable $x-1 = t^2$ es muy útil cuando aparecen expresiones de tipo $(x-a)^n$ y $\sqrt{x-a}$ simultáneamente.

Para resolver la integral resultante $\int 2t^5 \ln \left( \frac{t}{2} \right) \, dt$, aplicamos el método de integración por partes. Recordamos la fórmula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos las partes: * $u = \ln \left( \dfrac{t}{2} \right) \implies du = \dfrac{1}{t/2} \cdot \dfrac{1}{2} \, dt = \dfrac{1}{t} \, dt$ * $dv = 2t^5 \, dt \implies v = \int 2t^5 \, dt = \dfrac{2t^6}{6} = \dfrac{t^6}{3}$ Aplicamos la fórmula: $$F(t) = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \int \frac{t^6}{3} \cdot \frac{1}{t} \, dt$$ $$F(t) = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \int \frac{t^5}{3} \, dt$$ 💡 **Tip:** Al integrar por partes funciones que contienen logaritmos, solemos elegir $u$ como el logaritmo porque su derivada es una función racional más sencilla.

Resolvemos la integral inmediata restante y volvemos a la variable original $x$. Calculamos la última integral: $$\int \frac{t^5}{3} \, dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^6}{6} = \frac{t^6}{18}$$ Por tanto, en términos de $t$: $$F(t) = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \frac{t^6}{18} + C$$ Ahora, deshacemos el cambio de variable recordando que $t^2 = x - 1$ y $t^6 = (t^2)^3 = (x - 1)^3$: $$F(x) = \frac{(x - 1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{x - 1}}{2} \right) - \frac{(x - 1)^3}{18} + C$$

Utilizamos la condición inicial de que la gráfica pasa por $(5, -7/2)$, es decir, $F(5) = -3.5$. Sustituimos $x=5$ en la expresión de $F(x)$: $$\frac{(5 - 1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{5 - 1}}{2} \right) - \frac{(5 - 1)^3}{18} + C = -\frac{7}{2}$$ $$\frac{64}{3} \ln \left( \frac{2}{2} \right) - \frac{64}{18} + C = -\frac{7}{2}$$ Como $\ln(1) = 0$, el primer término desaparece: $$0 - \frac{32}{9} + C = -\frac{7}{2}$$ Despejamos $C$: $$C = \frac{32}{9} - \frac{7}{2} = \frac{64 - 63}{18} = \frac{1}{18}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \frac{(x - 1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{x - 1}}{2} \right) - \frac{(x - 1)^3}{18} + \frac{1}{18}}$$