Cálculo de una primitiva con cambio de variable

Para hallar una primitiva de la función, debemos calcular la integral indefinida: $$F(x) = \int (x - 1)^2 \ln \left( \frac{\sqrt{x - 1}}{2} \right) dx$$ Siguiendo la sugerencia del enunciado, realizamos el cambio de variable $x - 1 = t^2$. Calculamos los elementos de la sustitución: 1. Si $x - 1 = t^2$, entonces derivando respecto a $t$ obtenemos $dx = 2t \, dt$. 2. Además, $\sqrt{x - 1} = \sqrt{t^2} = t$. Sustituimos en la integral: $$\int (t^2)^2 \ln \left( \frac{t}{2} \right) (2t) \, dt = \int t^4 \ln \left( \frac{t}{2} \right) 2t \, dt = \int 2t^5 \ln \left( \frac{t}{2} \right) dt$$ 💡 **Tip:** El cambio de variable simplifica el argumento del logaritmo y transforma la base polinómica, convirtiendo una integral compleja en una típica de integración por partes.

Resolvemos la integral $I = \int 2t^5 \ln \left( \frac{t}{2} \right) dt$ aplicando el método de integración por partes. Elegimos las funciones: - $u = \ln \left( \frac{t}{2} \right) \implies du = \frac{1}{t/2} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{t} dt$ - $dv = 2t^5 dt \implies v = \int 2t^5 dt = \frac{2t^6}{6} = \frac{t^6}{3}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$I = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \int \frac{t^6}{3} \cdot \frac{1}{t} dt$$ $$I = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \frac{1}{3} \int t^5 dt$$ $$I = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \frac{1}{3} \cdot \frac{t^6}{6} + C$$ $$I = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \frac{t^6}{18} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$: **A**rcos, **L**ogaritmos, **P**olinomios, **E**xponenciales, **S**enos/Cosenos. Aquí el logaritmo tiene prioridad para ser $u$.

Ahora expresamos la primitiva en función de la variable original $x$. Sabemos que $x - 1 = t^2$, lo que implica que $t = \sqrt{x - 1}$ y $t^6 = (x - 1)^3$. Sustituimos estos valores en el resultado anterior: $$F(x) = \frac{(x - 1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{x - 1}}{2} \right) - \frac{(x - 1)^3}{18} + C$$ Esta es la familia de todas las primitivas de la función $f(x)$.

El enunciado indica que la gráfica de la primitiva debe pasar por el punto $(5, -7/2)$, es decir, $F(5) = -\frac{7}{2}$. Sustituimos $x = 5$ en nuestra expresión: $$F(5) = \frac{(5 - 1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{5 - 1}}{2} \right) - \frac{(5 - 1)^3}{18} + C = -\frac{7}{2}$$ $$F(5) = \frac{64}{3} \ln \left( \frac{2}{2} \right) - \frac{64}{18} + C = -\frac{7}{2}$$ Como $\ln(1) = 0$: $$0 - \frac{32}{9} + C = -\frac{7}{2}$$ Despejamos $C$: $$C = \frac{32}{9} - \frac{7}{2} = \frac{64 - 63}{18} = \frac{1}{18}$$ La primitiva buscada es: $$\boxed{F(x) = \frac{(x - 1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{x - 1}}{2} \right) - \frac{(x - 1)^3}{18} + \frac{1}{18}}$$