Integral definida de una función a trozos

Para calcular la integral definida de una función definida a trozos en un intervalo que contiene el punto de salto (en este caso $x=0$), debemos descomponer la integral en la suma de las integrales de cada rama sobre sus respectivos dominios de integración. El intervalo de integración es $[-\pi, \pi]$. Dado que la función cambia su definición en $x=0$, dividimos la integral de la siguiente forma: $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) \, dx + \int_{0}^{\pi} x \cos(x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda la propiedad de aditividad del intervalo de integración: $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$ para cualquier $c$ en el intervalo.

Calculamos la primera parte de la integral correspondiente al intervalo $[-\pi, 0]$, donde $f(x) = 1 - e^x$. Buscamos la primitiva de $1 - e^x$: $$\int (1 - e^x) \, dx = x - e^x + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) \, dx = [x - e^x]_{-\pi}^{0}$$ $$= (0 - e^0) - (-\pi - e^{-\pi})$$ $$= (0 - 1) + \pi + e^{-\pi} = \pi + e^{-\pi} - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^0 = 1$ y ten cuidado con el signo menos al restar el límite inferior. $$\boxed{I_1 = \pi + e^{-\pi} - 1}$$

Para la segunda parte, en el intervalo $(0, \pi]$, la función es $f(x) = x \cos(x)$. Para hallar su primitiva, utilizamos el método de **integración por partes**. La fórmula es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(x) \, dx \implies v = \sin(x)$ Aplicamos la fórmula: $$\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx$$ $$\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - (-\cos(x)) = x \sin(x) + \cos(x) + C$$ 💡 **Tip:** Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos). Aquí, el polinomio ($x$) va antes que el coseno.

Ahora aplicamos los límites de integración $[0, \pi]$ a la primitiva obtenida: $$\int_{0}^{\pi} x \cos(x) \, dx = [x \sin(x) + \cos(x)]_{0}^{\pi}$$ $$= (\pi \sin(\pi) + \cos(\pi)) - (0 \sin(0) + \cos(0))$$ Evaluamos las funciones trigonométricas: - $\sin(\pi) = 0$ - $\cos(\pi) = -1$ - $\sin(0) = 0$ - $\cos(0) = 1$ Sustituimos: $$= (\pi \cdot 0 + (-1)) - (0 \cdot 0 + 1) = -1 - 1 = -2$$ $$\boxed{I_2 = -2}$$

Sumamos los resultados de las dos integrales obtenidas en los pasos anteriores para obtener el valor total: $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = I_1 + I_2$$ $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = (\pi + e^{-\pi} - 1) + (-2)$$ $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \pi + e^{-\pi} - 3$$ Si quisiéramos una aproximación decimal (aunque en Selectividad se prefiere el valor exacto): $\pi \approx 3.1416$, $e^{-\pi} \approx 0.0432$ $3.1416 + 0.0432 - 3 \approx 0.1848$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = \pi + e^{-\pi} - 3}$$