Integral definida de una función a trozos

Para calcular la integral de una función definida a trozos en un intervalo que contiene el punto de salto (en este caso $x = 0$), debemos dividir la integral en la suma de las integrales correspondientes a cada rama en sus respectivos intervalos. El intervalo de integración es $[-\pi, \pi]$, por lo que dividimos la integral en los intervalos $[-\pi, 0]$ y $[0, \pi]$: $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) dx + \int_{0}^{\pi} x \cos(x) dx$$ 💡 **Tip:** La propiedad de aditividad del intervalo nos permite decir que $\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$ para cualquier $b$ dentro del intervalo $[a, c]$.

Resolvemos la primera parte de la integral: $\int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) dx$. Calculamos la primitiva de forma directa: $$\int (1 - e^x) dx = x - e^x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$\int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) dx = [x - e^x]_{-\pi}^{0}$$ $$= (0 - e^0) - (-\pi - e^{-\pi})$$ $$= (0 - 1) + \pi + e^{-\pi} = \pi + e^{-\pi} - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $e^0 = 1$ y ten cuidado con el signo negativo al restar el límite inferior.

Para resolver la segunda integral, $\int_{0}^{\pi} x \cos(x) dx$, primero hallamos la integral indefinida utilizando el método de **integración por partes**. Elegimos las variables según la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(x) dx \implies v = \sin(x)$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx$$ $$\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - (-\cos(x)) = x \sin(x) + \cos(x)$$ 💡 **Tip:** Una forma fácil de recordar la fórmula de integración por partes es: "**U**n **D**ía **V**i **U**na **V**aca **S**in **V**estido **D**e **U**niformismo" ($uv - \int v du$).

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** a la primitiva obtenida en el intervalo $[0, \pi]$: $$\int_{0}^{\pi} x \cos(x) dx = [x \sin(x) + \cos(x)]_{0}^{\pi}$$ Evaluamos en los límites: $$= (\pi \sin(\pi) + \cos(\pi)) - (0 \sin(0) + \cos(0))$$ Sabiendo que $\sin(\pi) = 0$, $\cos(\pi) = -1$, $\sin(0) = 0$ y $\cos(0) = 1$: $$= (\pi \cdot 0 + (-1)) - (0 \cdot 0 + 1)$$ $$= -1 - 1 = -2$$ $$\boxed{\int_{0}^{\pi} x \cos(x) dx = -2}$$

Sumamos los resultados obtenidos en los pasos anteriores para hallar el valor total de la integral solicitada: $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = (\pi + e^{-\pi} - 1) + (-2)$$ $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \pi + e^{-\pi} - 3$$ Podemos expresar el resultado de forma aproximada si se requiere (aunque en el examen se deja exacto): $\pi + e^{-\pi} - 3 \approx 3,1416 + 0,0432 - 3 = 0,1848$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \pi + e^{-\pi} - 3}$$