Cálculo de parámetros en una asíntota oblicua y estudio de asíntotas verticales

**a) [1,5 puntos] Calcula $a$ y $b$ para que $y = x - 2$ sea una asíntota oblicua de la gráfica de $f$.** Si $y = x - 2$ es una asíntota oblicua, su pendiente es $m = 1$ y su ordenada en el origen es $n = -2$. La pendiente $m$ de una asíntota oblicua se calcula mediante el límite: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$$ Sustituyendo la expresión de $f(x)$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^3 + x - 1}{x(x^2 + bx - 3)} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^3 + x - 1}{x^3 + bx^2 - 3x}$$ Como el grado del numerador y del denominador es igual (grado 3), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$m = \frac{a}{1} = a$$ Como sabemos que $m = 1$, igualamos: $$\boxed{a = 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$, el grado del numerador debe ser exactamente un grado mayor que el del denominador si $m \neq 0$.

Una vez hallado $a=1$, calculamos la ordenada en el origen $n$, que debe ser $-2$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 + x - 1}{x^2 + bx - 3} - 1 \cdot x \right)$$ Realizamos la operación de resta de fracciones: $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x - 1 - x(x^2 + bx - 3)}{x^2 + bx - 3}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x - 1 - x^3 - bx^2 + 3x}{x^2 + bx - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{-bx^2 + 4x - 1}{x^2 + bx - 3}$$ Nuevamente, al ser grados iguales (grado 2), el límite es el cociente de los coeficientes de $x^2$: $$n = \frac{-b}{1} = -b$$ Como sabemos que $n = -2$, igualamos: $$-b = -2 \implies \boxed{b = 2}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 2}$$

**b) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de $f$ cuando $a = 0$ y $b = 2$.** Sustituimos los valores $a = 0$ y $b = 2$ en la función original: $$f(x) = \frac{0x^3 + x - 1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{x - 1}{x^2 + 2x - 3}$$ Las asíntotas verticales son las rectas $x = c$ donde se anula el denominador y el límite de la función tiende a infinito. Buscamos los ceros del denominador: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores candidatos: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3$$ 💡 **Tip:** No todos los valores que anulan el denominador son necesariamente asíntotas verticales; hay que comprobar el límite en esos puntos.

Analizamos el comportamiento de la función en $x = 1$ y $x = -3$: **Caso 1: $x = 1$** $$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1 - 1}{1 + 2 - 3} = \frac{0}{0} \text{ (Indeterminación)}$$ Factorizamos el denominador $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{4}$$ Como el límite es finito, **no hay asíntota vertical en $x = 1$** (hay una discontinuidad evitable o "punto hueco"). **Caso 2: $x = -3$** $$\lim_{x \to -3} \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 3)} = \lim_{x \to -3} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{0} = \infty$$ Estudiamos los límites laterales para determinar el comportamiento: - Por la izquierda: $\lim_{x \to -3^-} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{0^-} = -\infty$ - Por la derecha: $\lim_{x \to -3^+} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{0^+} = +\infty$ Como el límite es infinito, **existe una asíntota vertical en $x = -3$**. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Asíntota vertical: } x = -3}$$