Asíntota oblicua y asíntotas verticales de una función racional

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a$ y $b$ para que $y=x-2$ sea una asíntota oblicua de la gráfica de $f$. Para que $y=x-2$ sea una asíntota oblicua, debe cumplirse: $$\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-(x-2)\bigr)=0.$$ Escribimos la diferencia con denominador común: $$f(x)-(x-2)=\frac{ax^3+x-1-(x-2)(x^2+bx-3)}{x^2+bx-3}.$$ Para que el límite sea $0$, el numerador debe quedar como un polinomio de **grado menor que 2** (porque el denominador es de grado 2).

Apartado a) [1,5 puntos] Calcula $a$ y $b$ para que $y=x-2$ sea una asíntota oblicua de la gráfica de $f$. Calculamos: $$(x-2)(x^2+bx-3)=x(x^2+bx-3)-2(x^2+bx-3).$$ Primero: $$x(x^2+bx-3)=x^3+bx^2-3x.$$ Segundo: $$-2(x^2+bx-3)=-2x^2-2bx+6.$$ Sumando: $$(x-2)(x^2+bx-3)=x^3+(b-2)x^2+(-3-2b)x+6.$$ Ahora restamos en el numerador: \begin{align*} &ax^3+x-1-\bigl[x^3+(b-2)x^2+(-3-2b)x+6\bigr]\\ &=(a-1)x^3-(b-2)x^2+(4+2b)x-7. \end{align*} Para que sea de grado $\le 1$, imponemos: $$(a-1)=0\Rightarrow a=1,$$ $$-(b-2)=0\Rightarrow b=2.$$ Por tanto, **$a=1$ y $b=2$**.

Apartado b) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de $f$ cuando $a=0$ y $b=2$. Sustituimos $a=0$ y $b=2$: $$f(x)=\frac{x-1}{x^2+2x-3}.$$ Factorizamos el denominador: $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$ Entonces $$f(x)=\frac{x-1}{(x+3)(x-1)}=\frac{1}{x+3},\quad \text{pero con } x\ne 1 \text{ y } x\ne -3.$$ - En $x=-3$ el denominador del simplificado se anula y el numerador no, luego $$\lim_{x\to -3}f(x)=\pm\infty,$$ así que **hay asíntota vertical $x=-3$**. - En $x=1$ se cancela el factor $(x-1)$, por lo que no “explota”: es una discontinuidad evitable. De hecho, $$\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+3}=\frac{1}{4}.$$ Por tanto, **en $x=1$ no hay asíntota vertical (hay un agujero)**. Conclusión: la única asíntota vertical es **$x=-3$**.