Optimización en rectángulos de área fija

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) De entre todos los rectángulos de área $25\,\text{cm}^2$, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible. Sea el rectángulo de lados $a>0$ y $b>0$ (en cm). La condición de área fija es: $$ab=25.$$ En un rectángulo, ambas diagonales tienen la misma longitud $$d=\sqrt{a^2+b^2}.$$ Por tanto, el producto de las longitudes de las dos diagonales es: $$d\cdot d=d^2=a^2+b^2.$$ Así, **minimizar el producto de diagonales equivale a minimizar** $$P(a,b)=a^2+b^2$$ sujeto a $ab=25$.

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) De entre todos los rectángulos de área $25\,\text{cm}^2$, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible. Usamos que para $a,b>0$ se cumple: $$a^2+b^2\ge 2ab.$$ (Es consecuencia de $(a-b)^2\ge 0$). Como $ab=25$, obtenemos: $$a^2+b^2\ge 2\cdot 25=50.$$ La igualdad se da cuando $a=b$. Por tanto, el mínimo se alcanza cuando $$a=b,$$ y con $ab=25$: $$a^2=25\Rightarrow a=5,\quad b=5.$$ Luego las dimensiones que minimizan el producto de diagonales son **$5\,\text{cm}\times 5\,\text{cm}$** (un cuadrado).

EJERCICIO 1. (2,5 puntos) De entre todos los rectángulos de área $25\,\text{cm}^2$, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible. Si $a=b=5$: $$d=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$ El producto de diagonales es $$d^2=50.$$ Conclusión: - Dimensiones: **$5\,\text{cm}$ y $5\,\text{cm}$**. - Producto mínimo de diagonales: **$50\,\text{cm}^2$**.