Optimización: Rectángulo de área constante y producto de diagonales mínimo

**EJERCICIO 1. (2,5 puntos) De entre todos los rectángulos de área $25 \text{ cm}^2$, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.** Comenzamos definiendo las variables que representan las dimensiones del rectángulo: - Sea $x$ la longitud de la base (en cm). - Sea $y$ la longitud de la altura (en cm). El enunciado nos indica que el área es constante e igual a $25 \text{ cm}^2$: $$A = x \cdot y = 25$$ De esta relación (condición de ligadura), podemos despejar una variable en función de la otra: $$y = \frac{25}{x}$$ Como estamos tratando con dimensiones físicas, ambas variables deben ser positivas ($x \gt 0, y \gt 0$). 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos identificar la función que queremos maximizar o minimizar (función objetivo) y la relación entre las variables (restricción).

Queremos minimizar el producto de las longitudes de las diagonales. En un rectángulo, las dos diagonales tienen la misma longitud $d$. Según el teorema de Pitágoras: $$d = \sqrt{x^2 + y^2}$$ El producto de las dos diagonales es $P = d \cdot d = d^2$. Por tanto: $$P = x^2 + y^2$$ Sustituimos $y = \frac{25}{x}$ en la expresión para obtener una función que dependa solo de $x$: $$f(x) = x^2 + \left( \frac{25}{x} \right)^2 = x^2 + \frac{625}{x^2}$$ Nuestra tarea es encontrar el valor de $x$ que minimiza la función $f(x) = x^2 + 625x^{-2}$ para $x \in (0, +\infty)$.

Para hallar los extremos relativos, calculamos la derivada de $f(x)$ e igualamos a cero: $$f'(x) = 2x + 625 \cdot (-2)x^{-3} = 2x - \frac{1250}{x^3}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x - \frac{1250}{x^3} = 0 \implies 2x = \frac{1250}{x^3} \implies 2x^4 = 1250$$ $$x^4 = \frac{1250}{2} = 625$$ $$x = \sqrt[4]{625} = 5$$ Consideramos únicamente la solución positiva $x = 5$ ya que $x$ representa una longitud. 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función buscamos sus puntos críticos donde la derivada es nula o no existe.

Para asegurar que en $x = 5$ hay un mínimo, estudiamos el signo de la primera derivada en el dominio $(0, +\infty)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 5) & 5 & (5, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Si $x \in (0, 5)$, por ejemplo $x=1$: $f'(1) = 2 - 1250 \lt 0$, la función es decreciente. - Si $x \in (5, +\infty)$, por ejemplo $x=10$: $f'(10) = 20 - \frac{1250}{1000} \gt 0$, la función es creciente. Al pasar de decreciente a creciente en $x=5$, confirmamos que hay un **mínimo relativo** que, al ser el único punto crítico en el dominio, es el **mínimo absoluto**. 💡 **Tip:** También podríamos usar el criterio de la segunda derivada: $f''(x) = 2 + \frac{3750}{x^4}$. Como $f''(5) \gt 0$, se confirma el mínimo.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos el valor de $y$ utilizando la relación de área: $$y = \frac{25}{x} = \frac{25}{5} = 5 \text{ cm}$$ El rectángulo que minimiza el producto de sus diagonales es aquel en el que la base y la altura son iguales, es decir, un **cuadrado**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Las dimensiones son base } x = 5 \text{ cm y altura } y = 5 \text{ cm}}$$