Recta paralela a dos planos por el origen

Para hallar el vector normal del plano $\pi_1$, primero calculamos dos vectores directores del plano a partir de los puntos $A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, -3)$ y $C(0, 1, 1)$. Obtenemos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 1, 1 - 0, -3 - 0) = (0, 1, -3)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 1 - 0, 1 - 0) = (-1, 1, 1)$$ El vector normal $\vec{n}_1$ se obtiene mediante el producto vectorial de estos dos vectores: $$\vec{n}_1 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n}_1 = [1 \cdot 1 - (-3) \cdot 1]\vec{i} - [0 \cdot 1 - (-3) \cdot (-1)]\vec{j} + [0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)]\vec{k}$$ $$\vec{n}_1 = (1 + 3)\vec{i} - (0 - 3)\vec{j} + (0 + 1)\vec{k} = 4\vec{i} + 3\vec{j} + 1\vec{k}$$ Por tanto, el vector normal de $\pi_1$ es: $$\vec{n}_1 = (4, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal de un plano es perpendicular a cualquier vector contenido en dicho plano. El producto vectorial de dos vectores directores siempre nos devuelve el vector normal.

Dada la ecuación implícita o general del plano $\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0$, los coeficientes de las variables $x, y, z$ corresponden directamente a las componentes de su vector normal. Por tanto: $$\vec{n}_2 = (1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** En un plano de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Buscamos una recta $r$ que sea paralela a ambos planos. Si la recta es paralela a un plano, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal de dicho plano. Como la recta debe ser paralela a $\pi_1$ y a $\pi_2$, se debe cumplir: 1. $\vec{v}_r \perp \vec{n}_1$ 2. $\vec{v}_r \perp \vec{n}_2$ El vector que cumple ambas condiciones es el producto vectorial de los vectores normales: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos mediante Sarrus: $$\vec{v}_r = [3 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)]\vec{i} - [4 \cdot 1 - 1 \cdot 1]\vec{j} + [4 \cdot (-1) - 3 \cdot 1]\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (3 + 1)\vec{i} - (4 - 1)\vec{j} + (-4 - 3)\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = 4\vec{i} - 3\vec{j} - 7\vec{k} = (4, -3, -7)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a la intersección de dos planos, su dirección coincide con el producto vectorial de los normales de dichos planos.

La recta pasa por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (4, -3, -7)$. Podemos expresar la recta en su forma continua: $$\frac{x - 0}{4} = \frac{y - 0}{-3} = \frac{z - 0}{-7}$$ O en su forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 4\lambda \\ y = -3\lambda \\ z = -7\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-7}}$$