Recta paralela a dos planos: dirección por producto vectorial de normales

EJERCICIO 8. (2,5 puntos) Sea $\pi_1$ el plano determinado por los puntos $A(1,0,0)$, $B(1,1,-3)$ y $C(0,1,1)$, y sea $\pi_2\equiv x-y+z-1=0$. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen. En $\pi_1$ tomamos dos vectores directores: $$\overrightarrow{AB}=B-A=(0,1,-3),$$ $$\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,1,1).$$ Un vector normal a $\pi_1$ es el producto vectorial: $$\vec n_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(0,1,-3)\times(-1,1,1).$$ Calculamos: $$\vec n_1=(4,3,1).$$

EJERCICIO 8. (2,5 puntos) Sea $\pi_1$ el plano determinado por los puntos $A(1,0,0)$, $B(1,1,-3)$ y $C(0,1,1)$, y sea $\pi_2\equiv x-y+z-1=0$. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen. En la ecuación $$\pi_2: x-y+z-1=0,$$ el vector normal es: $$\vec n_2=(1,-1,1).$$

EJERCICIO 8. (2,5 puntos) Sea $\pi_1$ el plano determinado por los puntos $A(1,0,0)$, $B(1,1,-3)$ y $C(0,1,1)$, y sea $\pi_2\equiv x-y+z-1=0$. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen. Una recta es paralela a un plano si su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Para que la recta sea paralela a $\pi_1$ y a $\pi_2$, su vector director $\vec v$ debe ser perpendicular a $\vec n_1$ y a $\vec n_2$. Un vector perpendicular a ambos se obtiene con: $$\vec v=\vec n_1\times \vec n_2=(4,3,1)\times(1,-1,1).$$ Calculamos: $$\vec v=(4,-3,-7).$$

EJERCICIO 8. (2,5 puntos) Sea $\pi_1$ el plano determinado por los puntos $A(1,0,0)$, $B(1,1,-3)$ y $C(0,1,1)$, y sea $\pi_2\equiv x-y+z-1=0$. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen. La recta pasa por el origen $O(0,0,0)$ y tiene dirección $\vec v=(4,-3,-7)$. Ecuación paramétrica: $$\boxed{\begin{cases} x=4t,\\ y=-3t,\\ z=-7t. \end{cases}}$$ Equivalente en forma continua: $$\boxed{\frac{x}{4}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{-7}}.$$