Punto de mínima distancia a una recta y puntos a distancia dada en el espacio

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula el punto de $r$ a menor distancia de $P$. De $$\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{2}=3-z=t$$ obtenemos: $$x=-1+2t,\quad y=2+2t,\quad 3-z=t\Rightarrow z=3-t.$$ Así, $$r(t)=(-1+2t,\,2+2t,\,3-t).$$ Un vector director es: $$\vec v=(2,2,-1).$$

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula el punto de $r$ a menor distancia de $P$. El punto de $r$ más cercano a $P$ es el que hace que el vector que une $P$ con el punto de la recta sea perpendicular al director $\vec v$. Sea $Q=r(t)$. Entonces: $$\overrightarrow{PQ}=Q-P\perp \vec v\quad\Rightarrow\quad (Q-P)\cdot \vec v=0.$$

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula el punto de $r$ a menor distancia de $P$. Con $P(0,2,-4)$ y $Q(-1+2t,2+2t,3-t)$: $$Q-P=(-1+2t,\,2t,\,7-t).$$ Imponemos producto escalar cero con $\vec v=(2,2,-1)$: $$(-1+2t,2t,7-t)\cdot(2,2,-1)=0.$$ Calculamos: $$2(-1+2t)+2(2t)-1(7-t)=0$$ $$(-2+4t)+4t-(7-t)=0$$ $$-2+8t-7+t=0\Rightarrow -9+9t=0\Rightarrow t=1.$$ Entonces el punto buscado es: $$Q=r(1)=(-1+2,\,2+2,\,3-1)=(1,4,2).$$ Resultado: **$\boxed{Q(1,4,2)}$**.

Apartado b) [1,25 puntos] Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $P$ sea igual a $\sqrt{50}$. Queremos: $$d(P,r(t))=\sqrt{50}\iff \|Q-P\|^2=50.$$ Con $Q-P=(-1+2t,2t,7-t)$: $$(-1+2t)^2+(2t)^2+(7-t)^2=50.$$ Expandimos: $$(-1+2t)^2=1-4t+4t^2,$$ $$(2t)^2=4t^2,$$ $$(7-t)^2=49-14t+t^2.$$ Sumamos: $$1-4t+4t^2+4t^2+49-14t+t^2=50\Rightarrow 9t^2-18t+50=50.$$ Simplificamos: $$9t^2-18t=0\Rightarrow 9t(t-2)=0\Rightarrow t=0\ \text{o}\ t=2.$$ Puntos: - Si $t=0$: $Q_1=(-1,2,3)$. - Si $t=2$: $Q_2=(3,6,1)$. Resultado: **$\boxed{(-1,2,3)\ \text{y}\ (3,6,1)}$**.