Distancia de un punto a una recta y puntos a una distancia fija

**a) [1,25 puntos] Calcula el punto de $r$ a menor distancia de $P$.** Primero, identificamos un punto y el vector director de la recta $r$. La ecuación viene dada en forma continua: $$r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{-1}$$ De aquí extraemos: - Punto de la recta: $A_r(-1, 2, 3)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (2, 2, -1)$ Para trabajar cómodamente, expresamos la recta en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para pasar de la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$ a paramétricas, igualamos a un parámetro $\lambda$ y despejamos cada variable.

El punto de $r$ a menor distancia de $P$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Vamos a calcularlo utilizando un plano auxiliar $\pi$ que sea perpendicular a $r$ y pase por $P$. 1. El vector normal del plano $\pi$ será el vector director de la recta: $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, 2, -1)$. 2. La ecuación del plano es $2x + 2y - z + D = 0$. 3. Como el plano pasa por $P(0, 2, -4)$: $$2(0) + 2(2) - (-4) + D = 0 \implies 4 + 4 + D = 0 \implies D = -8$$ El plano es $\pi \equiv 2x + 2y - z - 8 = 0$. 4. Calculamos la intersección de $r$ y $\pi$ sustituyendo las paramétricas de $r$ en el plano: $$2(-1 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda) - (3 - \lambda) - 8 = 0$$ $$-2 + 4\lambda + 4 + 4\lambda - 3 + \lambda - 8 = 0 \implies 9\lambda - 9 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$, obtenemos el punto $Q$: $$Q(-1 + 2(1), 2 + 2(1), 3 - 1) = (1, 4, 2)$$ 💡 **Tip:** El punto de una recta a menor distancia de un punto exterior es siempre el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto a la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(1, 4, 2)}$$

**b) [1,25 puntos] Halla los puntos de $r$ cuya distancia a $P$ sea igual a $\sqrt{50}$.** Sea $X$ un punto genérico de la recta $r$. Por estar en $r$, sus coordenadas son: $$X(-1 + 2\lambda, 2 + 2\lambda, 3 - \lambda)$$ La distancia entre $P(0, 2, -4)$ y $X$ viene dada por el módulo del vector $\vec{PX}$: $$\vec{PX} = (-1 + 2\lambda - 0, 2 + 2\lambda - 2, 3 - \lambda - (-4)) = (2\lambda - 1, 2\lambda, 7 - \lambda)$$ Queremos que $d(P, X) = \sqrt{50}$, lo que equivale a $|\vec{PX}|^2 = 50$: $$(2\lambda - 1)^2 + (2\lambda)^2 + (7 - \lambda)^2 = 50$$ 💡 **Tip:** Usar el cuadrado de la distancia evita trabajar con raíces cuadradas y simplifica la resolución de la ecuación.

Desarrollamos los cuadrados de la ecuación anterior: $$(4\lambda^2 - 4\lambda + 1) + 4\lambda^2 + (49 - 14\lambda + \lambda^2) = 50$$ Sumamos términos semejantes: $$9\lambda^2 - 18\lambda + 50 = 50$$ $$9\lambda^2 - 18\lambda = 0$$ Factorizamos para hallar las raíces: $$9\lambda(\lambda - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones para el parámetro: 1. $\lambda_1 = 0$ 2. $\lambda_2 = 2$ Calculamos los puntos correspondientes sustituyendo en las ecuaciones paramétricas de $r$: - Para $\lambda_1 = 0$: $$X_1(-1 + 2(0), 2 + 2(0), 3 - 0) = (-1, 2, 3)$$ - Para $\lambda_2 = 2$: $$X_2(-1 + 2(2), 2 + 2(2), 3 - 2) = (3, 6, 1)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X_1(-1, 2, 3) \text{ y } X_2(3, 6, 1)}$$