Rango de una matriz con parámetro y resolución de un sistema AX=B

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula el rango de $A$ según los valores de $a$. Si $\det(A)\ne 0$, entonces $\operatorname{rg}(A)=3$. Calculamos $\det(A)$ expandiendo por la segunda columna (tiene dos ceros): $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&0&a\\5&3a-1&0\end{pmatrix}.$$ Solo contribuye el elemento $(3a-1)$ en la posición (3,2): $$\det(A)=-(3a-1)\det\begin{pmatrix}1&1\\2&a\end{pmatrix}=-(3a-1)(a-2).$$

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula el rango de $A$ según los valores de $a$. De $$\det(A)=-(3a-1)(a-2),$$ se tiene $\det(A)=0$ si y solo si: $$(3a-1)(a-2)=0\Rightarrow a=\frac{1}{3}\ \text{o}\ a=2.$$ Por tanto: - Si $a\ne 2$ y $a\ne \frac{1}{3}$, entonces **$\operatorname{rg}(A)=3$**.

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula el rango de $A$ según los valores de $a$. Si $a=2$: $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&0&2\\5&5&0\end{pmatrix}.$$ Observamos que la fila 2 es el doble de la fila 1: $$(2,0,2)=2(1,0,1),$$ pero la fila 3 no es múltiplo de la fila 1 (tiene segunda componente distinta de 0). Así hay al menos 2 filas linealmente independientes y, como $\det(A)=0$, no puede ser 3. Luego: $$\boxed{\operatorname{rg}(A)=2\ \text{si } a=2.}$$

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula el rango de $A$ según los valores de $a$. Si $a=\frac{1}{3}$: $$3a-1=0\Rightarrow A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&0&\frac{1}{3}\\5&0&0\end{pmatrix}.$$ La segunda columna es nula, pero las columnas 1 y 3 no son proporcionales: $$(1,2,5)\not\parallel (1,\tfrac{1}{3},0).$$ Por tanto el rango es 2: $$\boxed{\operatorname{rg}(A)=2\ \text{si } a=\frac{1}{3}.}$$ Conclusión final del apartado a): $$\boxed{\operatorname{rg}(A)=3\ \text{si } a\ne 2,\ a\ne \frac{1}{3};\quad \operatorname{rg}(A)=2\ \text{si } a\in\left\{2,\frac{1}{3}\right\}.}$$

Apartado b) [1,25 puntos] Si $B=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ y $a=2$ resuelve, si es posible, el sistema $AX=B$. Para $a=2$: $$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&0&2\\5&5&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}.$$ El sistema $AX=B$ es: $$\begin{cases} x+z=1,\\ 2x+2z=2,\\ 5x+5y=4. \end{cases}$$

Apartado b) [1,25 puntos] Si $B=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ y $a=2$ resuelve, si es posible, el sistema $AX=B$. La segunda ecuación es el doble de la primera, así que no aporta información nueva: $$2x+2z=2\iff x+z=1.$$ De la primera: $$x=1-z.$$ De la tercera: $$5x+5y=4\Rightarrow x+y=\frac{4}{5}\Rightarrow y=\frac{4}{5}-x.$$ Sustituimos $x=1-z$: $$y=\frac{4}{5}-(1-z)=-\frac{1}{5}+z.$$ Tomando $z=t$ (parámetro real), las soluciones son: $$\boxed{(x,y,z)=(1-t,\,-\tfrac{1}{5}+t,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.}$$ En forma vectorial: $$\boxed{X=\begin{pmatrix}1\\-\frac{1}{5}\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}.$$