Rango de una matriz con parámetros y resolución de sistema

**a) [1,25 puntos] Calcula el rango de $A$ según los valores de $a$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, calculamos primero su determinante. El rango será 3 para aquellos valores de $a$ que hagan que el determinante sea distinto de cero. Dada $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{pmatrix}$, aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & a \\ 5 & 3a - 1 & 0 \end{vmatrix} = (1 \cdot 0 \cdot 0) + (0 \cdot a \cdot 5) + (1 \cdot 2 \cdot (3a-1)) - (5 \cdot 0 \cdot 1) - ((3a-1) \cdot a \cdot 1) - (0 \cdot 2 \cdot 0)$$ Operamos los términos: $$|A| = 0 + 0 + (6a - 2) - 0 - (3a^2 - a) - 0$$ $$|A| = -3a^2 + 7a - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz $n \times n$ es $n$ si y solo si su determinante es no nulo.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores donde el rango disminuye: $$-3a^2 + 7a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(-3)(-2)}}{2(-3)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{-6} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{-6}$$ $$a = \frac{-7 \pm 5}{-6}$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $a_1 = \frac{-7 + 5}{-6} = \frac{-2}{-6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$ 2. $a_2 = \frac{-7 - 5}{-6} = \frac{-12}{-6} = \mathbf{2}$

Analizamos el rango para los distintos casos: **Caso 1: $a \neq \frac{1}{3}$ y $a \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es 3. $$\mathbf{rg(A) = 3}$$ **Caso 2: $a = \frac{1}{3}$** Sustituimos $a$ en la matriz: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1/3 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. El determinante es $0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 1/3 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 0 - \frac{5}{3} = -\frac{5}{3} \neq 0 \implies \mathbf{rg(A) = 2}$$ **Caso 3: $a = 2$** Sustituimos $a$ en la matriz: $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}$. El determinante es $0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} = 10 - 0 = 10 \neq 0 \implies \mathbf{rg(A) = 2}$$ ✅ **Resultado del rango:** $$\boxed{\begin{cases} rg(A) = 3 & \text{si } a \neq 1/3, a \neq 2 \\ rg(A) = 2 & \text{si } a = 1/3 \text{ o } a = 2 \end{cases}}$$

**b) [1,25 puntos] Si $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ y $a = 2$ resuelve, si es posible, el sistema $AX = B$.** Para $a = 2$, el sistema es: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ Escribimos la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 0 & 4 \end{array} \right)$$ Ya sabemos que **$rg(A) = 2$** por el apartado anterior. Para ver si es compatible, calculamos el rango de $A^*$. Observamos que la fila 2 es el doble de la fila 1 ($F_2 = 2F_1$), incluyendo el término independiente. Por tanto, el rango de $A^*$ también es 2. 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Frobenius: - Si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (incógnitas), SCD. - Si $rg(A) = rg(A^*) \lt n$, SCI. - Si $rg(A) \neq rg(A^*)$, SI.

Como $rg(A) = rg(A^*) = 2$ y el número de incógnitas es $n = 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)**. Eliminamos la ecuación redundante ($F_2$) y nos quedamos con: 1) $x + z = 1$ 2) $5x + 5y = 4$ Parametrizamos una variable. Sea **$x = \lambda$** ($ \lambda \in \mathbb{R}$): De la primera ecuación: $$z = 1 - x \implies \mathbf{z = 1 - \lambda}$$ De la segunda ecuación: $$5y = 4 - 5x \implies 5y = 4 - 5\lambda \implies \mathbf{y = \frac{4}{5} - \lambda}$$ ✅ **Resultado del sistema:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \lambda, \frac{4}{5} - \lambda, 1 - \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$