Determinantes con potencias y resolución de una ecuación matricial 3x3

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula los determinantes de las matrices $\big((AB)^5\big)^{-1}$ y $27AB^6$. Para $A$ observamos que es bloque diagonal (una parte $2\times 2$ y un 1): $$\det(A)=\det\begin{pmatrix}1&-1\\7&2\end{pmatrix}\cdot 1=1\cdot 2-(-1)\cdot 7=2+7=9.$$ Para $B$, expandimos por la segunda columna (solo hay un 1 en el centro): $$\det(B)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\frac{1}{9}&0\end{pmatrix}=2\cdot 0-1\cdot\frac{1}{9}=-\frac{1}{9}.$$

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula los determinantes de las matrices $\big((AB)^5\big)^{-1}$ y $27AB^6$. Primero: $$\det(AB)=\det(A)\det(B)=9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)=-1.$$ Luego: $$\det\left((AB)^5\right)=\left(\det(AB)\right)^5=(-1)^5=-1.$$ Y para la inversa: $$\det\left(\left((AB)^5\right)^{-1}\right)=\frac{1}{\det\left((AB)^5\right)}=\frac{1}{-1}=-1.$$ Resultado: **$\boxed{\det\left(\left((AB)^5\right)^{-1}\right)=-1}$**.

Apartado a) [1,25 puntos] Calcula los determinantes de las matrices $\big((AB)^5\big)^{-1}$ y $27AB^6$. Como es una matriz $3\times 3$, si multiplicamos por un escalar $27$: $$\det(27M)=27^3\det(M).$$ Aquí $M=AB^6$, así que: $$\det(27AB^6)=27^3\det(A)\det(B^6).$$ Además, $$\det(B^6)=(\det B)^6=\left(-\frac{1}{9}\right)^6=\frac{1}{9^6}.$$ Entonces: $$\det(AB^6)=\det(A)\det(B^6)=9\cdot\frac{1}{9^6}=\frac{1}{9^5}.$$ Por tanto: $$\det(27AB^6)=27^3\cdot\frac{1}{9^5}.$$ Como $27=3^3$ y $9=3^2$: $$27^3=3^9,\quad 9^5=3^{10}\Rightarrow \det(27AB^6)=\frac{3^9}{3^{10}}=\frac{1}{3}.$$ Resultado: **$\boxed{\det(27AB^6)=\frac{1}{3}}$**.

Apartado b) [1,25 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $AXB=9I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Como $$\det(A)=9\ne 0\quad\text{y}\quad\det(B)=-\frac{1}{9}\ne 0,$$ ambas matrices son invertibles. De $AXB=9I$, multiplicamos a la izquierda por $A^{-1}$ y a la derecha por $B^{-1}$: $$X=9A^{-1}B^{-1}.$$

Apartado b) [1,25 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $AXB=9I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Como $$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\7&2&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$ la inversa es bloque diagonal. Para el bloque $\begin{pmatrix}1&-1\\7&2\end{pmatrix}$ (determinante $9$): $$\begin{pmatrix}1&-1\\7&2\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}2&1\\-7&1\end{pmatrix}.$$ Así: $$A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&0\\-\frac{7}{9}&\frac{1}{9}&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Para $B$: $$B\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+z\\y\\\frac{1}{9}x\end{pmatrix}.$$ Si esto es $(u,v,w)$, entonces: $$x=9w,\quad y=v,\quad z=u-2x=u-18w.$$ Por tanto: $$B^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&9\\0&1&0\\1&0&-18\end{pmatrix}.$$

Apartado b) [1,25 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $AXB=9I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Calculamos primero $A^{-1}B^{-1}$: $$A^{-1}B^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&0\\-\frac{7}{9}&\frac{1}{9}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&9\\0&1&0\\1&0&-18\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&\frac{1}{9}&2\\0&\frac{1}{9}&-7\\1&0&-18\end{pmatrix}.$$ Multiplicamos por 9: $$X=9A^{-1}B^{-1}=\begin{pmatrix}0&1&18\\0&1&-63\\9&0&-162\end{pmatrix}.$$ Resultado: **$\boxed{X=\begin{pmatrix}0&1&18\\0&1&-63\\9&0&-162\end{pmatrix}}$**.