Determinantes y ecuaciones matriciales

**a) [1,25 puntos] Calcula los determinantes de las matrices $((AB)^5)^{-1}$ y $27AB^6$.** Antes de aplicar las propiedades de los determinantes para resolver las expresiones pedidas, calculamos los determinantes de las matrices individuales $A$ y $B$. Para $|A|$, desarrollamos por la tercera fila (o columna) al tener dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 - (-7)) = 9.$$ Para $|B|$, desarrollamos por la segunda fila: $$|B| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/9 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1/9 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 1/9) = -\frac{1}{9}.$$ 💡 **Tip:** El desarrollo por una fila o columna con ceros simplifica enormemente el cálculo de determinantes de orden 3. $$\boxed{|A| = 9, \quad |B| = -1/9}$$

Aplicamos las propiedades de los determinantes: 1. El determinante del producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de la inversa es el inverso del determinante: $|M^{-1}| = 1/|M|$. 3. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|M^k| = |M|^k$. Por tanto: $$|((AB)^5)^{-1}| = \frac{1}{|(AB)^5|} = \frac{1}{(|A| \cdot |B|)^5}$$ Sustituimos los valores hallados: $$|A| \cdot |B| = 9 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = -1$$ $$|((AB)^5)^{-1}| = \frac{1}{(-1)^5} = \frac{1}{-1} = -1.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|((AB)^5)^{-1}| = -1}$$

Aplicamos la propiedad del determinante de una constante por una matriz de orden $n$: $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. En este caso, $n=3$ y $k=27$. $$|27AB^6| = 27^3 \cdot |A| \cdot |B|^6$$ Sustituimos los valores y operamos usando potencias de base 3 para simplificar: $$27 = 3^3, \quad |A| = 9 = 3^2, \quad |B| = -\frac{1}{9} = -3^{-2}$$ $$|27AB^6| = (3^3)^3 \cdot 3^2 \cdot (-3^{-2})^6 = 3^9 \cdot 3^2 \cdot 3^{-12} = 3^{9+2-12} = 3^{-1} = \frac{1}{3}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un escalar fuera de un determinante de orden $n$, este sale elevado a la $n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|27AB^6| = \frac{1}{3}}$$

**b) [1,25 puntos] Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica que $AXB = 9I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.** Primero comprobamos si las matrices $A$ y $B$ son invertibles. Como $|A| = 9 \neq 0$ y $|B| = -1/9 \neq 0$, ambas poseen inversa y podemos despejar $X$. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha en ambos miembros: $$A^{-1} (AXB) B^{-1} = A^{-1} (9I) B^{-1}$$ $$(A^{-1} A) X (B B^{-1}) = 9 (A^{-1} I B^{-1})$$ $$I X I = 9 A^{-1} B^{-1}$$ $$X = 9 A^{-1} B^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los factores importa. No es lo mismo multiplicar por la izquierda que por la derecha.

Calculamos $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Ya sabemos que $|A| = 9$. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $A_{11} = +|\begin{smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 2$; $A_{12} = -|\begin{smallmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = -7$; $A_{13} = +|\begin{smallmatrix} 7 & 2 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ $A_{21} = -|\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$; $A_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$; $A_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$ $A_{31} = +|\begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$; $A_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 7 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$; $A_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 7 & 2 \end{smallmatrix}| = 9$ Trasponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$

Calculamos $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^t$. Sabemos que $|B| = -1/9$, luego $1/|B| = -9$. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(B)$: $B_{11} = 0$; $B_{12} = 0$; $B_{13} = -1/9$ $B_{21} = 0$; $B_{22} = -1/9$; $B_{23} = 0$ $B_{31} = -1$; $B_{32} = 0$; $B_{33} = 2$ Trasponemos: $$\text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1/9 & 0 \\ -1/9 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos por $-9$: $$B^{-1} = -9 \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1/9 & 0 \\ -1/9 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}$$

Sustituimos $A^{-1}$ y $B^{-1}$ en la expresión $X = 9 A^{-1} B^{-1}$: $$X = 9 \cdot \left[ \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -18 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(2\cdot0+1\cdot0+0\cdot1, \, 2\cdot0+1\cdot1+0\cdot0, \, 2\cdot9+1\cdot0+0\cdot(-18)) = (0, 1, 18)$ - Fila 2: $(-7\cdot0+1\cdot0+0\cdot1, \, -7\cdot0+1\cdot1+0\cdot0, \, -7\cdot9+1\cdot0+0\cdot(-18)) = (0, 1, -63)$ - Fila 3: $(0\cdot0+0\cdot0+9\cdot1, \, 0\cdot0+0\cdot1+9\cdot0, \, 0\cdot9+0\cdot0+9\cdot(-18)) = (9, 0, -162)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 18 \\ 0 & 1 & -63 \\ 9 & 0 & -162 \end{pmatrix}}$$