Integral indefinida por cambio de variable y fracciones simples

Para resolver la integral, seguimos la sugerencia del enunciado y aplicamos el cambio de variable $t = e^x$. Primero, calculamos el diferencial $dx$ en función de $dt$: $$t = e^x \implies dt = e^x dx \implies dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}.$$ Sustituimos $e^x$ por $t$ y $dx$ por $\frac{dt}{t}$ en la integral original: $$\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx = \int \frac{t^3 - 1}{t - 3} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{t^3 - 1}{t(t - 3)} dt = \int \frac{t^3 - 1}{t^2 - 3t} dt.$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable $t=g(x)$, no olvides transformar siempre el diferencial $dx$ calculando la derivada $dt = g'(x)dx$.

Obtenemos una integral de una función racional donde el grado del numerador ($3$) es mayor que el grado del denominador ($2$). Por tanto, debemos realizar la división polinómica de $t^3 - 1$ entre $t^2 - 3t$. Realizamos la división: - Dividimos $t^3$ entre $t^2$: obtenemos $t$. - Multiplicamos $t(t^2 - 3t) = t^3 - 3t^2$ y restamos: $(t^3 - 1) - (t^3 - 3t^2) = 3t^2 - 1$. - Dividimos $3t^2$ entre $t^2$: obtenemos $3$. - Multiplicamos $3(t^2 - 3t) = 3t^2 - 9t$ y restamos: $(3t^2 - 1) - (3t^2 - 9t) = 9t - 1$. El cociente es $C(t) = t + 3$ y el resto es $R(t) = 9t - 1$. Así, podemos escribir: $$\frac{t^3 - 1}{t^2 - 3t} = t + 3 + \frac{9t - 1}{t^2 - 3t}.$$ La integral se descompone en: $$\int (t + 3) dt + \int \frac{9t - 1}{t(t - 3)} dt.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{grado}(P) \ge \text{grado}(Q)$, entonces $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

Para resolver $\int \frac{9t - 1}{t(t - 3)} dt$, descomponemos la fracción en una suma de fracciones simples: $$\frac{9t - 1}{t(t - 3)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t - 3}.$$ Igualamos los numeradores: $$9t - 1 = A(t - 3) + Bt.$$ Para hallar $A$ y $B$, damos valores a $t$ correspondientes a las raíces del denominador: - Si $t = 0$: $9(0) - 1 = A(0 - 3) + B(0) \implies -1 = -3A \implies A = \frac{1}{3}.$ - Si $t = 3$: $9(3) - 1 = A(3 - 3) + B(3) \implies 26 = 3B \implies B = \frac{26}{3}.$ Por tanto: $$\frac{9t - 1}{t(t - 3)} = \frac{1/3}{t} + \frac{26/3}{t - 3}.$$ 💡 **Tip:** En la descomposición en fracciones simples con raíces reales simples, el método de dar valores a $x$ (las raíces) es el más rápido para hallar las constantes.

Ahora sustituimos todo en la integral y calculamos las primitivas: $$\int \left( t + 3 + \frac{1/3}{t} + \frac{26/3}{t - 3} \right) dt = \int t dt + \int 3 dt + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} dt + \frac{26}{3} \int \frac{1}{t - 3} dt.$$ Calculando cada parte: $$\frac{t^2}{2} + 3t + \frac{1}{3} \ln|t| + \frac{26}{3} \ln|t - 3| + C.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Finalmente, sustituimos $t = e^x$ para obtener el resultado en función de $x$. Como $t = e^x$, entonces: - $t^2 = (e^x)^2 = e^{2x}$ - $3t = 3e^x$ - $\ln|t| = \ln(e^x) = x$ - $\ln|t - 3| = \ln|e^x - 3|$ Sustituyendo: $$\frac{e^{2x}}{2} + 3e^x + \frac{1}{3}x + \frac{26}{3} \ln|e^x - 3| + C.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 3e^x + \frac{1}{3}x + \frac{26}{3} \ln|e^x - 3| + C}$$