Integral racional exponencial mediante cambio $t=e^x$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Calcula $$\int \frac{e^{3x}-1}{e^x-3}\,dx.$$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t=e^x$). Hacemos el cambio recomendado: $$t=e^x\Rightarrow dt=e^x\,dx=t\,dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{t}.$$ Además, $$e^{3x}=(e^x)^3=t^3.$$ La integral queda: $$\int \frac{t^3-1}{t-3}\cdot\frac{1}{t}\,dt.$$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Calcula $$\int \frac{e^{3x}-1}{e^x-3}\,dx.$$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t=e^x$). Dividimos: $$\frac{t^3-1}{t-3}=t^2+3t+9+\frac{26}{t-3}$$ porque $$(t-3)(t^2+3t+9)=t^3-27,$$ y falta $26$ para llegar a $t^3-1$. Entonces: $$\frac{t^3-1}{t-3}\cdot\frac{1}{t}=\left(t^2+3t+9\right)\frac{1}{t}+\frac{26}{t(t-3)}=\left(t+3+\frac{9}{t}\right)+\frac{26}{t(t-3)}.$$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Calcula $$\int \frac{e^{3x}-1}{e^x-3}\,dx.$$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t=e^x$). Descomponemos: $$\frac{26}{t(t-3)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-3}.$$ Igualando: $$26=A(t-3)+Bt=(A+B)t-3A.$$ Sistema: $$A+B=0,\quad -3A=26\Rightarrow A=-\frac{26}{3},\ B=\frac{26}{3}.$$ Así, el integrando es: $$t+3+\frac{9}{t}-\frac{26}{3}\frac{1}{t}+\frac{26}{3}\frac{1}{t-3}=t+3+\frac{1}{3}\frac{1}{t}+\frac{26}{3}\frac{1}{t-3}.$$ Integramos: $$\int\left(t+3+\frac{1}{3t}+\frac{26}{3(t-3)}\right)dt=\frac{t^2}{2}+3t+\frac{1}{3}\ln|t|+\frac{26}{3}\ln|t-3|+C.$$

EJERCICIO 4. (2,5 puntos) Calcula $$\int \frac{e^{3x}-1}{e^x-3}\,dx.$$ (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t=e^x$). Como $t=e^x$: $$\frac{t^2}{2}=\frac{e^{2x}}{2},\quad 3t=3e^x,\quad \ln|t|=\ln(e^x)=x,\quad \ln|t-3|=\ln|e^x-3|.$$ Por tanto, una primitiva es: $$\boxed{\frac{e^{2x}}{2}+3e^x+\frac{x}{3}+\frac{26}{3}\ln|e^x-3|+C}.$$