Puntos de corte, representación gráfica y cálculo de áreas

**a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.** Primero, buscamos el punto de corte con el **eje de ordenadas (Eje $Y$)**, haciendo $x = 0$: $$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 8(0) = 0$$ El punto de corte es $(0, 0)$. Segundo, buscamos los puntos de corte con el **eje de abscisas (Eje $X$)**, resolviendo $f(x) = 0$: $$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - 6x + 8) = 0$$ Esto nos da una primera solución: $x_1 = 0$. Para las otras dos, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ Las soluciones son $x_2 = \frac{8}{2} = 4$ y $x_3 = \frac{4}{2} = 2$. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos de corte con el eje $X$ son las raíces del polinomio. Si el término independiente es cero, $x=0$ siempre es una solución. ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{(0, 0), (2, 0) \text{ y } (4, 0)}$$

Para realizar un esbozo preciso, analizamos el comportamiento en el infinito y los extremos relativos. **Comportamiento en el infinito:** $$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 6x^2 + 8x) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 6x^2 + 8x) = -\infty$$ **Cálculo de extremos (monotonía):** Derivamos la función: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 8$. Igualamos a cero: $$3x^2 - 12x + 8 = 0 \implies x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ Los valores aproximados son $x \approx 0.85$ (máximo) y $x \approx 3.15$ (mínimo). **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0.85) & 0.85 & (0.85, 3.15) & 3.15 & (3.15, +\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ 💡 **Tip:** Al ser un polinomio de grado 3 con coeficiente principal positivo, la función viene de $-\infty$, sube, baja y vuelve a subir hacia $+\infty$.

Utilizando los puntos de corte $(0,0), (2,0), (4,0)$ y los extremos relativos calculados, podemos dibujar la curva. La función corta al eje $X$ en tres puntos, creando dos recintos cerrados. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \le y \le f(x) \{0 \le x \le 2\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "f(x) \le y \le 0 \{2 \le x \le 4\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -5, "top": 5 } } }

**b) [1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas.** La función corta al eje $X$ en $x=0$, $x=2$ y $x=4$. Esto define dos recintos: 1. El primer recinto entre $x=0$ y $x=2$ (donde $f(x) \ge 0$). 2. El segundo recinto entre $x=2$ y $x=4$ (donde $f(x) \le 0$). El área total es la suma de las áreas absolutas de cada integral: $$A = A_1 + A_2 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \left| \int_{2}^{4} f(x) \, dx \right|$$ 💡 **Tip:** Como el área no puede ser negativa, debemos calcular el valor absoluto de la integral en los tramos donde la función queda por debajo del eje $X$.

Calculamos la integral indefinida (primitiva) de $f(x)$: $$F(x) = \int (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} + C$$ $$F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2$$

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, 2]$: $$A_1 = \int_{0}^{2} (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2 \right]_0^2$$ Calculamos evaluando en los límites: $$A_1 = \left( \frac{2^4}{4} - 2(2^3) + 4(2^2) \right) - (0) = \left( \frac{16}{4} - 16 + 16 \right) = 4$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[2, 4]$: $$A_2 = \left| \int_{2}^{4} (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2 \right]_2^4 \right|$$ Evaluamos: $$F(4) = \frac{4^4}{4} - 2(4^3) + 4(4^2) = 64 - 128 + 64 = 0$$ $$F(2) = 4 \text{ (calculado anteriormente)}$$ $$A_2 = |F(4) - F(2)| = |0 - 4| = 4$$ El área total es: $$A = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 8 \text{ unidades de área}}$$