Cortes con ejes, esbozo y áreas acotadas para un polinomio cúbico

Apartado a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica. Factorizamos: $$f(x)=x^3-6x^2+8x=x(x^2-6x+8)=x(x-2)(x-4).$$ Cortes con el eje $X$ (resolver $f(x)=0$): $$x(x-2)(x-4)=0\Rightarrow x=0,\ 2,\ 4.$$ Por tanto: $$\boxed{(0,0),\ (2,0),\ (4,0)}.$$ Corte con el eje $Y$ (poner $x=0$): $$f(0)=0\Rightarrow \boxed{(0,0)}.$$

Apartado a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica. Derivamos: $$f'(x)=3x^2-12x+8.$$ Resolvemos $f'(x)=0$: $$3x^2-12x+8=0\Rightarrow x=\frac{12\pm\sqrt{144-96}}{6}=\frac{12\pm\sqrt{48}}{6}=\frac{12\pm 4\sqrt{3}}{6}=2\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$ Sean $$x_1=2-\frac{2\sqrt{3}}{3},\qquad x_2=2+\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$ Evaluamos (usando $f(x)=x(x-2)(x-4)$): - En $x_1$ (máximo): $$f(x_1)=\frac{16\sqrt{3}}{9}.$$ - En $x_2$ (mínimo): $$f(x_2)=-\frac{16\sqrt{3}}{9}.$$ (La clasificación se deduce porque es una cúbica con coeficiente líder positivo: primero sube, luego baja, luego sube.)

Apartado a) [1 punto] Calcula los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica. Como $$f(x)=x(x-2)(x-4),$$ el signo cambia en cada raíz simple: - En $(0,2)$, por ejemplo $x=1$: $f(1)=3>0$ (por encima del eje $X$). - En $(2,4)$, por ejemplo $x=3$: $f(3)=-3<0$ (por debajo del eje $X$). - En $(4,\infty)$, por ejemplo $x=5$: $f(5)=15>0$. Con esto y los extremos relativos, se puede dibujar el esbozo pasando por $(0,0)$, $(2,0)$ y $(4,0)$.

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas. Los recintos acotados con el eje $X$ están entre las raíces consecutivas: - De $x=0$ a $x=2$ (donde $f\ge 0$). - De $x=2$ a $x=4$ (donde $f\le 0$). El área total es: $$A=\int_0^2 f(x)\,dx-\int_2^4 f(x)\,dx=\int_0^2 f(x)\,dx+\left|\int_2^4 f(x)\,dx\right|.$$

Apartado b) [1,5 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas. Una primitiva es: $$\int (x^3-6x^2+8x)\,dx=\frac{x^4}{4}-2x^3+4x^2+C.$$ Área entre 0 y 2: $$\int_0^2 f(x)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+4x^2\right]_0^2=(4-16+16)-0=4.$$ Integral entre 2 y 4: $$\int_2^4 f(x)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+4x^2\right]_2^4=(64-128+64)-(4-16+16)=0-4=-4.$$ Entonces el área (valor absoluto) en $[2,4]$ es $|-4|=4$. Suma de áreas: $$A=4+4=8.$$ Resultado: **$\boxed{A=8}$**.