Análisis 2024 Andalucia
Continuidad/derivabilidad en 0 y rectas tangente/normal de una función a trozos
EJERCICIO 2. (2,5 puntos)
Sea la función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por
$$f(x)=\begin{cases}
a e^{-x}+b\ln(1-x) & \text{si } x<0,\\
x+\ln(1+x) & \text{si } x\ge 0,
\end{cases}$$
donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.
a) [1,5 puntos] Determina $a$ y $b$.
b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$.
Paso 1
Condición de derivabilidad: primero continuidad en x=0
Apartado a) [1,5 puntos] Determina $a$ y $b$.
Como $f$ es derivable en $\mathbb{R}$, en particular debe ser **continua** y **derivable** en $x=0$ (punto de empalme).
Calculamos:
- Límite por la izquierda (tramo $x<0$):
$$\lim_{x\to 0^-} f(x)=a e^{0}+b\ln(1-0)=a+b\cdot 0=a.$$
- Valor por la derecha (tramo $x\ge 0$):
$$f(0)=0+\ln(1+0)=0.$$
Continuidad en $0$ exige:
$$a=f(0)=0\Rightarrow \boxed{a=0}.$$
Paso 2
Igualar derivadas laterales en x=0 para hallar b
Apartado a) [1,5 puntos] Determina $a$ y $b$.
Derivamos cada tramo:
Si $x<0$:
$$f(x)=a e^{-x}+b\ln(1-x).$$
$$f'(x)=a(-e^{-x})+b\frac{1}{1-x}(-1)=-a e^{-x}-\frac{b}{1-x}.$$
Luego
$$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\left(-a e^{-x}-\frac{b}{1-x}\right)=-a-b.$$
Con $a=0$:
$$f'_-(0)=-b.$$
Si $x\ge 0$:
$$f(x)=x+\ln(1+x)\Rightarrow f'(x)=1+\frac{1}{1+x}.$$
Entonces
$$f'_+(0)=1+\frac{1}{1+0}=2.$$
Derivabilidad en $0$ exige $f'_-(0)=f'_+(0)$:
$$-b=2\Rightarrow \boxed{b=-2}.$$
Paso 3
Recta tangente en x=0
Apartado b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$.
Ya sabemos que:
$$f(0)=0,\qquad f'(0)=2.$$
El punto es $(0,0)$ y la pendiente de la tangente es $m_T=2$.
Ecuación de la tangente:
$$y-0=2(x-0)\Rightarrow \boxed{y=2x}.$$
Paso 4
Recta normal en x=0
Apartado b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=0$.
La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es:
$$m_N=-\frac{1}{m_T}=-\frac{1}{2}.$$
Ecuación de la normal por $(0,0)$:
$$y-0=-\frac12(x-0)\Rightarrow \boxed{y=-\frac12 x}.$$