Derivabilidad de una función a trozos y rectas tangente y normal

**a) [1,5 puntos] Determina $a$ y $b$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. Analizamos la continuidad de $f(x)$ en el salto entre ramas, es decir, en $x = 0$. Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x = 0$: 1. El límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (a e^{-x} + b \ln(1 - x)) = a e^0 + b \ln(1) = a \cdot 1 + 0 = a$$ 2. El límite por la derecha y valor de la función: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0 + \ln(1 + 0) = 0 + 0 = 0$$ Para que la función sea continua, los límites deben coincidir: $$\boxed{a = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad. Siempre debemos empezar asegurando que $f(x)$ sea continua.

Una vez que sabemos que $a = 0$, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} b \ln(1 - x) & \text{si } x < 0 \\ x + \ln(1 + x) & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 0$: - Para $x < 0$: $f'(x) = b \cdot \dfrac{-1}{1 - x} = \dfrac{-b}{1 - x}$ - Para $x > 0$: $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{1 + x + 1}{1 + x} = \dfrac{x + 2}{1 + x}$ Por tanto: $$f'(x) = \begin{cases} \dfrac{-b}{1 - x} & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{x + 2}{1 + x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al derivar $\ln(u)$, la derivada es $\frac{u'}{u}$. En el primer caso, $u = 1 - x$, por lo que $u' = -1$.

Para que $f(x)$ sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{-b}{1 - x} = \dfrac{-b}{1} = -b$$ 2. Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x + 2}{1 + x} = \dfrac{0 + 2}{1 + 0} = 2$$ Igualamos ambos resultados: $$-b = 2 \implies \boxed{b = -2}$$ Concluimos que para que la función sea derivable, los parámetros deben ser: $$\boxed{a = 0, \quad b = -2}$$

**b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Primero identificamos los elementos necesarios: 1. El punto de tangencia: $P(0, f(0))$. Según calculamos en el apartado anterior, $f(0) = 0$. El punto es **$(0, 0)$**. 2. La pendiente de la recta tangente ($m_t$): Es el valor de la derivada en el punto, $f'(0)$. Como la función es derivable en $x=0$, usamos el valor obtenido: $$m_t = f'(0) = 2$$ 💡 **Tip:** Si $f$ es derivable en $x_0$, la pendiente de la recta tangente es $f'(x_0)$ y la de la normal es $-1/f'(x_0)$.

Utilizamos la fórmula punto-pendiente: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$: Sustituyendo el punto $(0, 0)$ y $m_t = 2$: $$y - 0 = 2(x - 0)$$ $$y = 2x$$ ✅ **Resultado (Recta Tangente):** $$\boxed{y = 2x}$$

La pendiente de la recta normal ($m_n$) es la perpendicular a la de la tangente: $$m_n = -\dfrac{1}{m_t} = -\dfrac{1}{2}$$ Utilizamos de nuevo la forma punto-pendiente con el mismo punto $(0, 0)$: $$y - 0 = -\dfrac{1}{2}(x - 0)$$ $$y = -\dfrac{1}{2}x$$ ✅ **Resultado (Recta Normal):** $$\boxed{y = -\dfrac{1}{2}x}$$