Monotonía, curvatura y puntos de inflexión de una función exponencial

**a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = (x^2 + 1)e^x$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (x^2 + 1)' \cdot e^x + (x^2 + 1) \cdot (e^x)'$$ $$f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 + 1) \cdot e^x$$ $$f'(x) = (x^2 + 2x + 1)e^x$$ Observamos que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Por tanto: $$f'(x) = (x+1)^2 e^x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En este caso, al ser una exponencial multiplicada por un polinomio, siempre es útil sacar factor común $e^x$. Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$(x+1)^2 e^x = 0$$ Como $e^x > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, la única solución es: $$(x+1)^2 = 0 \implies x = -1$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x = -1$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\\hline (x+1)^2 & + & 0 & + \\ e^x & + & + & + \\\hline f'(x) & + & 0 & + \end{array}$$ Como $f'(x) \gt 0$ para todo $x \neq -1$ y la función es continua, la función es **estrictamente creciente** en todo su dominio. El punto $x = -1$ es un punto de inflexión con tangente horizontal (no es un extremo relativo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } \mathbb{R} \quad (\text{o } (-\infty, +\infty))}$$ $$\boxed{\text{No tiene intervalos de decrecimiento}}$$

**b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).** Para la curvatura y los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = (x^2 + 2x + 1)e^x$: $$f''(x) = (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x + 1)e^x$$ $$f''(x) = (x^2 + 4x + 3)e^x$$ Buscamos los puntos donde $f''(x) = 0$: $$(x^2 + 4x + 3)e^x = 0 \implies x^2 + 4x + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(3)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = -1, \quad x_2 = -3$$

Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por $x = -3$ y $x = -1$. El signo depende únicamente del polinomio $P(x) = x^2 + 4x + 3$ ya que $e^x$ siempre es positivo. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\\hline x^2+4x+3 & + & 0 & - & 0 & + \\ e^x & + & + & + & + & + \\\hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ Interpretamos los resultados: - $f''(x) \gt 0$: La función es **convexa** (forma de $\cup$). - $f''(x) \lt 0$: La función es **cóncava** (forma de $\cap$). ✅ **Resultado de curvatura:** $$\boxed{\text{Convexa en } (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty)}$$ $$\boxed{\text{Cóncava en } (-3, -1)}$$

Dado que hay un cambio de curvatura en $x = -3$ y en $x = -1$, ambos son puntos de inflexión. Calculamos sus ordenadas sustituyendo en $f(x) = (x^2 + 1)e^x$: 1. Para $x = -3$: $$f(-3) = ((-3)^2 + 1)e^{-3} = 10e^{-3} = \frac{10}{e^3}$$ 2. Para $x = -1$: $$f(-1) = ((-1)^2 + 1)e^{-1} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$$ 💡 **Tip:** No olvides que un "punto" de la gráfica requiere tanto la coordenada $x$ (abscisa) como la $y$ (ordenada). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P.I._1 \left(-3, \dfrac{10}{e^3}\right), \quad P.I._2 \left(-1, \dfrac{2}{e}\right)}$$