Crecimiento, concavidad e inflexiones de $f(x)=(x^2+1)e^x$

Apartado a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Dada $$f(x)=(x^2+1)e^x,$$ calculamos $f'(x)$ usando la regla del producto: $$f'(x)=(x^2+1)'e^x+(x^2+1)(e^x)'=2x\,e^x+(x^2+1)e^x.$$ Factorizamos $e^x$: $$f'(x)=e^x(2x+x^2+1)=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2.$$

Apartado a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Como $e^x>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ y $(x+1)^2\ge 0$ para todo $x$: $$f'(x)=e^x(x+1)^2\ge 0.$$ Además, $f'(x)=0$ solo cuando $(x+1)^2=0\Rightarrow x=-1$. Por tanto: - $f$ es **creciente en todo $\mathbb{R}$**. - No hay intervalos de decrecimiento. Conclusión: **$\boxed{f \text{ es creciente en } \mathbb{R}}$** (con tangente horizontal en $x=-1$).

Apartado b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). A partir de $$f'(x)=e^x(x+1)^2,$$ calculamos la segunda derivada (producto): $$f''(x)=(e^x)'(x+1)^2+e^x\,\big((x+1)^2\big)'=e^x(x+1)^2+e^x\,2(x+1).$$ Factorizamos $e^x(x+1)$: $$f''(x)=e^x(x+1)\big((x+1)+2\big)=e^x(x+1)(x+3).$$

Apartado b) [1,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). Como $e^x>0$, el signo de $f''(x)$ depende de $(x+1)(x+3)$. Resolvemos $f''(x)=0$: $$(x+1)(x+3)=0\Rightarrow x=-3\ \text{o}\ x=-1.$$ Estudio de signo: - Si $x<-3$ (por ejemplo $x=-4$): $(x+1)(x+3)=(-3)(-1)>0$ \Rightarrow $f''(x)>0$ (convexa). - Si $-3-1$ (por ejemplo $x=0$): $(x+1)(x+3)=(1)(3)>0$ \Rightarrow $f''(x)>0$ (convexa). Por tanto: - **Convexa** en **$\boxed{(-\infty,-3)\cup(-1,+\infty)}$**. - **Cóncava** en **$\boxed{(-3,-1)}$**. Como hay cambio de signo en ambos ceros, son puntos de inflexión. Calculamos sus ordenadas: $$f(-3)=(9+1)e^{-3}=\frac{10}{e^3},\qquad f(-1)=(1+1)e^{-1}=\frac{2}{e}.$$ Puntos de inflexión: **$\boxed{I_1\left(-3,\dfrac{10}{e^3}\right),\ I_2\left(-1,\dfrac{2}{e}\right)}$**.