Probabilidad de retrasos en vuelos

**a) Calcular la probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase.** Primero, definimos los sucesos según el origen de los vuelos y si sufren retraso: - $N$: El vuelo procede del territorio nacional. - $E$: El vuelo procede de la Unión Europea. - $O$: El vuelo procede de países de fuera de la Unión Europea (Otros). - $R$: El vuelo se retrasa. - $\bar{R}$: El vuelo no se retrasa. Calculamos las probabilidades de cada origen dividiendo el número de vuelos por el total ($161$): $$P(N) = \frac{95}{161}, \quad P(E) = \frac{50}{161}, \quad P(O) = \frac{16}{161}$$ Extraemos las probabilidades condicionadas de retraso dadas en el enunciado: - $P(R|N) = 5\% = 0.05 = \frac{5}{100}$ - $P(R|E) = 4\% = 0.04 = \frac{4}{100}$ - $P(R|O) = 6.25\% = 0.0625 = \frac{6.25}{100} = \frac{1}{16}$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente los sucesos y sus probabilidades es el primer paso crítico en cualquier problema de probabilidad condicionada.

Representamos la situación mediante un diagrama de árbol para visualizar todas las posibles combinaciones de sucesos y sus probabilidades asociadas:

Para hallar la probabilidad total de que un vuelo se retrase, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de que el retraso ocurra en cada uno de los tres orígenes: $$P(R) = P(N) \cdot P(R|N) + P(E) \cdot P(R|E) + P(O) \cdot P(R|O)$$ Sustituimos los valores: $$P(R) = \left( \frac{95}{161} \cdot 0.05 \right) + \left( \frac{50}{161} \cdot 0.04 \right) + \left( \frac{16}{161} \cdot 0.0625 \right)$$ Realizamos las operaciones intermedias: - $P(N \cap R) = \frac{95 \cdot 0.05}{161} = \frac{4.75}{161}$ - $P(E \cap R) = \frac{50 \cdot 0.04}{161} = \frac{2}{161}$ - $P(O \cap R) = \frac{16 \cdot 0.0625}{161} = \frac{1}{161}$ Sumamos las fracciones: $$P(R) = \frac{4.75 + 2 + 1}{161} = \frac{7.75}{161}$$ Para obtener el resultado final, multiplicamos por 100 arriba y abajo para quitar decimales de la fracción: $$P(R) = \frac{775}{16100} = \frac{31}{644} \approx 0.0481$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando los caminos que llevan a él en el diagrama de árbol. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = \frac{31}{644} \approx 0.0481}$$

**b) Sabiendo que un vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo proceda de la Unión Europea.** Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, la probabilidad del origen dado que conocemos el efecto (el retraso). Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(E|R) = \frac{P(E \cap R)}{P(R)} = \frac{P(E) \cdot P(R|E)}{P(R)}$$ Ya conocemos los valores de los pasos anteriores: - $P(E \cap R) = \frac{2}{161}$ - $P(R) = \frac{7.75}{161}$ Sustituimos en la fórmula: $$P(E|R) = \frac{\frac{2}{161}}{\frac{7.75}{161}} = \frac{2}{7.75}$$ Simplificamos la fracción: $$P(E|R) = \frac{200}{775} = \frac{8}{31} \approx 0.2581$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" condicionada a un "efecto" ya observado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E|R) = \frac{8}{31} \approx 0.2581}$$