Probabilidades con dos monedas distintas

**a) Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras. (3 puntos)** En primer lugar, definimos los sucesos para cada moneda de forma independiente: - $C_1$: Obtener cara con la moneda $M_1$. $P(C_1) = x$. Por tanto, obtener cruz es $P(\bar{C}_1) = 1-x$. - $C_2$: Obtener cara con la moneda $M_2$. $P(C_2) = y$. Por tanto, obtener cruz es $P(\bar{C}_2) = 1-y$. Como los lanzamientos de las dos monedas son sucesos independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades. 💡 **Tip:** Recuerda que si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Calculamos los tres casos posibles al lanzar ambas monedas una vez: 1. **Ninguna cara:** Ambas deben ser cruz. $$P(\text{0 caras}) = P(\bar{C}_1 \cap \bar{C}_2) = P(\bar{C}_1) \cdot P(\bar{C}_2) = (1-x)(1-y)$$ 2. **Dos caras:** Ambas deben ser cara. $$P(\text{2 caras}) = P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) \cdot P(C_2) = x \cdot y$$ 3. **Solo una cara:** Puede ser cara la primera y cruz la segunda, o viceversa. $$P(\text{1 cara}) = P(C_1 \cap \bar{C}_2) + P(\bar{C}_1 \cap C_2) = x(1-y) + (1-x)y$$ Simplificando: $x - xy + y - xy = x + y - 2xy$. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\begin{aligned} P(\text{0 caras}) &= (1-x)(1-y) \\ P(\text{1 cara}) &= x + y - 2xy \\ P(\text{2 caras}) &= xy \end{aligned}}$$

**b) Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras. (7 puntos)** Este experimento se puede ver como el comportamiento individual de cada moneda. Para que una moneda termine siendo "cara" al final del proceso, debe salir cara en el primer lanzamiento O salir cruz en el primero y cara en el segundo. Analicemos la moneda $M_1$: - $C_{1, ext{final}}$: La moneda $M_1$ muestra cara tras el proceso. - $\bar{C}_{1, ext{final}}$: La moneda $M_1$ muestra cruz tras el proceso. Para que sea cruz al final, debe fallar en el primer lanzamiento (prob. $1-x$) Y fallar en el segundo lanzamiento (prob. $1-x$): $$P(\bar{C}_{1, ext{final}}) = (1-x) \cdot (1-x) = (1-x)^2$$ La probabilidad de que sea cara al final es el suceso complementario: $$P(C_{1, ext{final}}) = 1 - (1-x)^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 2x - x^2$$ 💡 **Tip:** En experimentos de varias etapas, a veces es más sencillo calcular la probabilidad del fracaso total y usar el complementario.

Aplicamos el mismo razonamiento para la moneda $M_2$: - Probabilidad de cruz final en $M_2$: $P(\bar{C}_{2, ext{final}}) = (1-y)^2$ - Probabilidad de cara final en $M_2$: $P(C_{2, ext{final}}) = 1 - (1-y)^2 = 2y - y^2$ Podemos representar las probabilidades finales combinadas mediante un esquema:

Ahora combinamos los resultados finales de ambas monedas: 1. **Ninguna cara final:** Ambas deben terminar en cruz. $$P(\text{0 caras final}) = P(\bar{C}_{1, ext{final}}) \cdot P(\bar{C}_{2, ext{final}}) = (1-x)^2 (1-y)^2$$ 2. **Dos caras final:** Ambas deben terminar en cara. $$P(\text{2 caras final}) = P(C_{1, ext{final}}) \cdot P(C_{2, ext{final}}) = (2x - x^2)(2y - y^2)$$ 3. **Solo una cara final:** Una cara y una cruz. $$P(\text{1 cara final}) = P(C_{1, ext{final}}) P(\bar{C}_{2, ext{final}}) + P(\bar{C}_{1, ext{final}}) P(C_{2, ext{final}})$$ $$P(\text{1 cara final}) = (2x - x^2)(1 - y)^2 + (1 - x)^2(2y - y^2)$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\begin{aligned} P(\text{0 caras final}) &= (1-x)^2 (1-y)^2 \\ P(\text{1 cara final}) &= (2x - x^2)(1 - y)^2 + (1 - x)^2(2y - y^2) \\ P(\text{2 caras final}) &= (2x - x^2)(2y - y^2) \end{aligned}}$$