Paralelismo de rectas y ecuación del plano en el espacio

**a) Los valores del parámetro real $a$, si existen, para los que son paralelas la recta $r$ y la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$. (6 puntos)** Primero, necesitamos el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. La recta viene dada por la intersección de dos planos, por lo que su vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: Planos: $\begin{cases} \pi_1: x - y - 1 = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, -1, 0) \\ \pi_2: x + 2y + z = 0 \implies \vec{n}_2 = (1, 2, 1) \end{cases}$ Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$: $$\vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1)$$ $$\vec{v}_r = -1\vec{i} - 1\vec{j} + 3\vec{k} = (-1, -1, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial. $$\boxed{\vec{v}_r = (-1, -1, 3)}$$

Llamemos $s$ a la recta que pasa por $P(0, 0, 3)$ y $Q(2, 2, a)$. Su vector director $\vec{v}_s$ será el vector que une ambos puntos: $$\vec{v}_s = \vec{PQ} = Q - P = (2 - 0, 2 - 0, a - 3) = (2, 2, a - 3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$ es simplemente la resta de sus coordenadas: $\vec{v} = B - A$.

Para que la recta $r$ y la recta $s$ sean paralelas, sus vectores directores deben ser proporcionales: $$\vec{v}_r \parallel \vec{v}_s \iff \frac{2}{-1} = \frac{2}{-1} = \frac{a - 3}{3}$$ De la igualdad de las razones tenemos: $$-2 = \frac{a - 3}{3}$$ $$-6 = a - 3 \implies a = -3$$ Para comprobar si son paralelas o coincidentes, verificamos si $P \in r$: $r: \begin{cases} 0 - 0 = 1 \text{ (Falso)} \\ 0 + 2(0) + 3 = 0 \text{ (Falso)} \end{cases}$ Como el punto $P$ no pertenece a $r$, las rectas son estrictamente paralelas para $a = -3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3}$$

**b) La ecuación del plano perpendicular a $r$ y que pasa por $P$. (4 puntos)** Si un plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ será el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (-1, -1, 3)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las coordenadas del vector normal: $$-1x - 1y + 3z + D = 0 \implies -x - y + 3z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(0, 0, 3)$: $$-0 - 0 + 3(3) + D = 0$$ $$9 + D = 0 \implies D = -9$$ La ecuación del plano es $-x - y + 3z - 9 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$x + y - 3z + 9 = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a una recta utiliza el vector director de la recta como su propio vector normal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y - 3z + 9 = 0}$$