Probabilidad y Estadística 2023 Valencia
Probabilidad en la producción de móviles. Teorema de la Probabilidad Total y Bayes
Problema 8. Una empresa tiene dos plantas de producción de teléfonos móviles. La primera planta produce móviles defectuosos con probabilidad 0,02 y la segunda planta con probabilidad 0,06. Al comprar un móvil de esa empresa, la probabilidad de que sea de la primera planta es de 0,7. Compramos un móvil. Se pide determinar:
a) La probabilidad de que proceda de la segunda planta de producción y sea defectuoso. (4 puntos)
b) Sabiendo que el móvil comprado es defectuoso, la probabilidad de que lo haya fabricado la primera planta de producción. (6 puntos)
Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) La probabilidad de que proceda de la segunda planta de producción y sea defectuoso. (4 puntos)**
Primero, definimos los sucesos del problema:
- $P_1$: El móvil procede de la primera planta.
- $P_2$: El móvil procede de la segunda planta.
- $D$: El móvil es defectuoso.
- $\bar{D}$: El móvil no es defectuoso.
Datos del enunciado:
- $P(P_1) = 0,7$
- $P(P_2) = 1 - P(P_1) = 1 - 0,7 = 0,3$
- $P(D|P_1) = 0,02$
- $P(D|P_2) = 0,06$
Representamos la situación en un diagrama de árbol:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de la intersección
Se nos pide la probabilidad de que el móvil sea de la segunda planta **y** sea defectuoso. Esto corresponde a la intersección de sucesos $P(P_2 \cap D)$.
Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada:
$$P(P_2 \cap D) = P(P_2) \cdot P(D | P_2)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(P_2 \cap D) = 0,3 \cdot 0,06 = 0,0180$$
💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la probabilidad de una rama final es el producto de las probabilidades de los caminos que llevan a ella.
✅ **Resultado apartado a):**
$$\boxed{P(P_2 \cap D) = 0,0180}$$
Paso 3
Probabilidad total de móvil defectuoso
**b) Sabiendo que el móvil comprado es defectuoso, la probabilidad de que lo haya fabricado la primera planta de producción. (6 puntos)**
Este apartado nos pide una probabilidad a posteriori: $P(P_1 | D)$. Para resolverlo, primero necesitamos conocer la probabilidad total de que un móvil sea defectuoso, $P(D)$.
Según el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(P_1 \cap D) + P(P_2 \cap D)$$
$$P(D) = P(P_1) \cdot P(D | P_1) + P(P_2) \cdot P(D | P_2)$$
Calculamos la parte que falta (intersección con la planta 1):
$$P(P_1 \cap D) = 0,7 \cdot 0,02 = 0,0140$$
Sumamos ambos resultados:
$$P(D) = 0,0140 + 0,0180 = 0,0320$$
$$\boxed{P(D) = 0,0320}$$
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes
Para hallar la probabilidad de que proceda de la primera planta sabiendo que es defectuoso, aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(P_1 | D) = \frac{P(P_1 \cap D)}{P(D)}$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(P_1 | D) = \frac{0,0140}{0,0320}$$
Simplificamos la expresión:
$$P(P_1 | D) = \frac{14}{32} = \frac{7}{16} = 0,4375$$
💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una causa dado un efecto, dividiendo la probabilidad de esa rama específica entre la probabilidad total del efecto.
✅ **Resultado apartado b):**
$$\boxed{P(P_1 | D) = 0,4375}$$