Optimización del área de una ventana mixta

**a) Calcular el área de la ventana en función de su anchura $x$. (3 puntos)** Primero, definimos las variables de la ventana: - $x$: Anchura de la parte rectangular (que coincide con el diámetro del semicírculo). - $h$: Altura de la parte rectangular. - $r$: Radio del semicírculo, donde $r = \frac{x}{2}$. El perímetro $P$ es la suma de los tres lados del rectángulo y la longitud del arco del semicírculo: $$P = x + 2h + \frac{1}{2}(2\pi r) = x + 2h + \pi\left(\frac{x}{2}\right) = 20$$ Despejamos $h$ en función de $x$ para poder expresar el área posteriormente: $$2h = 20 - x - \frac{\pi x}{2}$$ $$h = 10 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4}$$ 💡 **Tip:** El perímetro de una figura compuesta solo incluye el contorno exterior. La línea que separa el rectángulo del semicírculo no se suma.

El área total de la ventana $A$ es la suma del área del rectángulo y el área del semicírculo: $$A = A_{\text{rect}} + A_{\text{semi}} = x \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2$$ Sustituimos $h$ y $r$ en términos de $x$: $$A(x) = x \left( 10 - \frac{x}{2} - \frac{\pi x}{4} \right) + \frac{1}{2}\pi \left( \frac{x}{2} \right)^2$$ $$A(x) = 10x - \frac{x^2}{2} - \frac{\pi x^2}{4} + \frac{\pi x^2}{8}$$ Simplificamos los términos de $x^2$ buscando un denominador común: $$A(x) = 10x - \frac{4x^2}{8} - \frac{2\pi x^2}{8} + \frac{\pi x^2}{8} = 10x - \frac{4x^2 + \pi x^2}{8}$$ $$A(x) = 10x - \left( \frac{4 + \pi}{8} \right)x^2$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{A(x) = 10x - \frac{4 + \pi}{8}x^2}$$

**b) Calcular las dimensiones que ha de tener la ventana para que permita la máxima entrada de luz. (5 puntos)** Para maximizar la entrada de luz (el área), derivamos $A(x)$ respecto a $x$ e igualamos a cero: $$A'(x) = 10 - 2 \cdot \left( \frac{4 + \pi}{8} \right)x = 10 - \left( \frac{4 + \pi}{4} \right)x$$ Igualamos a cero para hallar el valor crítico: $$10 - \left( \frac{4 + \pi}{4} \right)x = 0 \implies 10 = \frac{4 + \pi}{4}x$$ $$x = \frac{40}{4 + \pi} \approx 5,60 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Un problema de optimización requiere encontrar el extremo relativo de la función. El valor de $x$ que anula la primera derivada es nuestro candidato a máximo.

Comprobamos que es un máximo utilizando el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = -\frac{4 + \pi}{4}$$ Como $A''(x) \lt 0$ para cualquier valor de $x$ (es una constante negativa), el valor hallado corresponde a un **máximo absoluto**. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \frac{40}{4+\pi}) & \frac{40}{4+\pi} & (\frac{40}{4+\pi}, \infty) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ Al pasar de crecimiento a decrecimiento, confirmamos el máximo.

Ya tenemos la anchura $x$. Calculamos ahora la altura del rectángulo $h$ sustituyendo el valor de $x$ en la expresión despejada en el primer paso: $$h = 10 - \frac{1}{2} \left( \frac{40}{4 + \pi} \right) - \frac{\pi}{4} \left( \frac{40}{4 + \pi} \right)$$ $$h = 10 - \frac{20}{4 + \pi} - \frac{10\pi}{4 + \pi} = \frac{10(4 + \pi) - 20 - 10\pi}{4 + \pi}$$ $$h = \frac{40 + 10\pi - 20 - 10\pi}{4 + \pi} = \frac{20}{4 + \pi} \approx 2,80 \text{ metros}$$ Observamos que curiosamente $h = \frac{x}{2}$. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\text{Dimensiones: } x = \frac{40}{4 + \pi} \text{ m}, \quad h = \frac{20}{4 + \pi} \text{ m}}$$

**c) Calcular el valor de dicha área máxima. (2 puntos)** Sustituimos $x = \frac{40}{4 + \pi}$ en la función área $A(x)$: $$A_{\text{máx}} = 10 \left( \frac{40}{4 + \pi} \right) - \frac{4 + \pi}{8} \left( \frac{40}{4 + \pi} \right)^2$$ $$A_{\text{máx}} = \frac{400}{4 + \pi} - \frac{4 + \pi}{8} \cdot \frac{1600}{(4 + \pi)^2}$$ $$A_{\text{máx}} = \frac{400}{4 + \pi} - \frac{200}{4 + \pi} = \frac{200}{4 + \pi} \approx 28,01 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{A_{\text{máx}} = \frac{200}{4 + \pi} \text{ m}^2 \approx 28,01 \text{ m}^2}$$