Estudio de discontinuidad, monotonía e integración de una función racional

**a) Comprobar que $x = -\frac{1}{2}$ es una discontinuidad evitable. (2 puntos)** Primero, analizamos el dominio de la función igualando el denominador a cero: $$2x^2 + 5x + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$$ Las raíces del denominador son $x_1 = -2$ y $x_2 = -\frac{1}{2}$. Por tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1/2\}$. Para comprobar si en $x = -1/2$ hay una discontinuidad evitable, calculamos el límite: $$\lim_{x \to -1/2} \frac{-2x^2 + x + 1}{2x^2 + 5x + 2}$$ Al sustituir, obtenemos la indeterminación $0/0$. Factorizamos numerador y denominador: - Numerador: $-2x^2 + x + 1 = -2(x - 1)(x + 1/2) = -(x - 1)(2x + 1)$ - Denominador: $2x^2 + 5x + 2 = 2(x + 2)(x + 1/2) = (x + 2)(2x + 1)$ Simplificamos la expresión para $x \neq -1/2$: $$f(x) = \frac{-(x - 1)(2x + 1)}{(x + 2)(2x + 1)} = \frac{-(x - 1)}{x + 2} = \frac{-x + 1}{x + 2}$$ Calculamos el límite de la función simplificada: $$\lim_{x \to -1/2} f(x) = \lim_{x \to -1/2} \frac{-x + 1}{x + 2} = \frac{-(-1/2) + 1}{-1/2 + 2} = \frac{3/2}{3/2} = 1$$ Al existir el límite y ser finito, pero no existir la imagen $f(-1/2)$, la discontinuidad es evitable. 💡 **Tip:** Una discontinuidad en $x=a$ es evitable si existe $\lim_{x \to a} f(x) = L$ (siendo $L$ finito) pero $f(a)$ no está definido o $f(a) \neq L$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Discontinuidad evitable en } x = -1/2 \text{ porque } \lim_{x \to -1/2} f(x) = 1}$$

**b) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (4 puntos)** Utilizamos la expresión simplificada de la función para facilitar el cálculo de la derivada, teniendo en cuenta que el dominio original excluye $x = -2$ y $x = -1/2$: $$f(x) = \frac{-x + 1}{x + 2}$$ Derivamos usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(-1)(x + 2) - (-x + 1)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{-x - 2 + x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{-3}{(x + 2)^2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$: - El numerador es $-3$ (siempre negativo). - El denominador $(x + 2)^2$ es siempre positivo para cualquier $x$ en el dominio. - Por tanto, $f'(x) \lt 0$ en todo su dominio. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, -1/2) & -1/2 & (-1/2, +\infty) \\\hline f'(x) & - & \nexists & - & \nexists & - \\\hline f(x) & \searrow & \nexists & \searrow & \text{punto hueco} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que aunque la derivada sea siempre negativa, debes separar los intervalos por los puntos donde la función no está definida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, -2) \cup (-2, -1/2) \cup (-1/2, +\infty)}$$

**c) Obtener $\int f(x) dx$. (4 puntos)** Para integrar la función racional $f(x) = \frac{-2x^2 + x + 1}{2x^2 + 5x + 2}$, primero realizamos la división de polinomios (o usamos la simplificación previa): Dividiendo $-2x^2 + x + 1$ entre $2x^2 + 5x + 2$: $$-2x^2 + x + 1 = -1(2x^2 + 5x + 2) + (6x + 3)$$ Por lo que: $$f(x) = -1 + \frac{6x + 3}{2x^2 + 5x + 2}$$ Factorizando el denominador como vimos en el apartado a), sabemos que $2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2)$. Entonces: $$\frac{6x + 3}{(2x + 1)(x + 2)} = \frac{3(2x + 1)}{(2x + 1)(x + 2)} = \frac{3}{x + 2}$$ Ahora planteamos la integral: $$\int f(x) dx = \int \left( -1 + \frac{3}{x + 2} \right) dx$$ $$\int f(x) dx = -\int 1 \, dx + 3 \int \frac{1}{x + 2} \, dx$$ $$\int f(x) dx = -x + 3 \ln |x + 2| + C$$ 💡 **Tip:** Al integrar funciones racionales donde el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, el primer paso es siempre realizar la división de polinomios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int f(x) dx = -x + 3 \ln |x + 2| + C}$$