Posición relativa de recta y plano. Construcción de planos

**a) Obtener la posición relativa de $r$ y $\pi$ en función de $m$. (6 puntos)** En primer lugar, extraemos los elementos característicos de la recta $r$ y del plano $\pi$: - De la recta $r$, obtenemos un punto $A_r$ y su vector director $\vec{v}_r$: $$A_r = (1, 1, 0), \quad \vec{v}_r = (-1, -1, 2)$$ - Del plano $\pi$, extraemos su vector normal $\vec{n}_\pi$ (los coeficientes de $x, y, z$): $$\vec{n}_\pi = (5, m, 1)$$ La posición relativa depende de si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, son secantes.

Calculamos el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-1) \cdot 5 + (-1) \cdot m + 2 \cdot 1 = -5 - m + 2 = -3 - m$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico de $m$: $$-3 - m = 0 \implies m = -3$$

Si **$m \neq -3$**, entonces $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$. Esto significa que el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano, por lo que la recta y el plano se cortan en un único punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq -3, \text{ la recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes.}}$$

Si **$m = -3$**, entonces $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$. La recta es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguirlo, comprobamos si el punto $A_r(1, 1, 0)$ pertenece al plano $\pi: 5x - 3y + z = 2$: Sustituimos las coordenadas de $A_r$ en la ecuación del plano: $$5(1) - 3(1) + 0 = 5 - 3 = 2$$ Como $2 = 2$, el punto $A_r$ cumple la ecuación del plano. Por tanto, todos los puntos de la recta están en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = -3, \text{ la recta } r \text{ está contenida en el plano } \pi.}$$

**b) Para $m = 1$, calcular el plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. (4 puntos)** Si $m = 1$, los datos son: - Recta $r: A_r(1, 1, 0)$ y $\vec{v}_r(-1, -1, 2)$. - Plano $\pi: 5x + y + z = 2$, con vector normal $\vec{n}_\pi(5, 1, 1)$. Para definir el plano buscado $\pi'$, necesitamos un punto y su vector normal $\vec{n}'$: 1. Como $r \subset \pi'$, el punto $A_r(1, 1, 0)$ pertenece a $\pi'$ y el vector $\vec{v}_r$ es paralelo al plano. 2. Como $\pi' \perp \pi$, el vector normal del plano $\pi$ ($\vec{n}_\pi$) también es paralelo al plano $\pi'$. 💡 **Tip:** El vector normal de $\pi'$ será el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{n}_\pi$.

Calculamos $\vec{n}' = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi$ mediante un determinante: $$\vec{n}' = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}' = \vec{i}(-1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) - \vec{j}(-1 \cdot 1 - 2 \cdot 5) + \vec{k}(-1 \cdot 1 - (-1) \cdot 5)$$ $$\vec{n}' = \vec{i}(-1 - 2) - \vec{j}(-1 - 10) + \vec{k}(-1 + 5)$$ $$\vec{n}' = -3\vec{i} + 11\vec{j} + 4\vec{k}$$ Obtenemos el vector normal $\vec{n}' = (-3, 11, 4)$.

La ecuación del plano tiene la forma $-3x + 11y + 4z + D = 0$. Sustituimos el punto $A_r(1, 1, 0)$ para hallar $D$: $$-3(1) + 11(1) + 4(0) + D = 0$$ $$-3 + 11 + D = 0 \implies 8 + D = 0 \implies D = -8$$ La ecuación es $-3x + 11y + 4z - 8 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$3x - 11y - 4z + 8 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi': 3x - 11y - 4z + 8 = 0}$$