Geometría en el espacio: Rectas, planos y distancias

**a) Hallar la ecuación implícita de la recta $r$ que contiene a los puntos $A$ y $B$. (3 puntos)** Para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. Como la recta $r$ pasa por $A(2, -1, 0)$ y $B(1, 2, 3)$, tomamos como vector director el vector que une ambos puntos: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (1 - 2, 2 - (-1), 3 - 0) = (-1, 3, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ se obtiene restando sus coordenadas: $\vec{v} = \vec{PQ} = Q - P$.

A partir del punto $A(2, -1, 0)$ y el vector $\vec{v_r} = (-1, 3, 3)$, escribimos primero la ecuación en forma continua: $$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{3}$$ Para obtener la ecuación implícita (o general), igualamos las fracciones de dos en dos para obtener dos planos: 1. De $\dfrac{x - 2}{-1} = \dfrac{y + 1}{3}$: $$3(x - 2) = -1(y + 1) \implies 3x - 6 = -y - 1 \implies 3x + y - 5 = 0$$ 2. De $\dfrac{y + 1}{3} = \dfrac{z}{3}$: $$3(y + 1) = 3z \implies y + 1 = z \implies y - z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación implícita de $r$):** $$\boxed{r: \begin{cases} 3x + y - 5 = 0 \\ y - z + 1 = 0 \end{cases}}$$

**b) Hallar la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta anterior $r$ y que contiene al punto $C$. (4 puntos)** Si un plano $\pi$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ es paralelo al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Por tanto, podemos tomar: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (-1, 3, 3)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo nuestro vector: $$-1x + 3y + 3z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección.

Como el plano contiene al punto $C(-1, 0, 0)$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del plano: $$-1(-1) + 3(0) + 3(0) + D = 0$$ $$1 + 0 + 0 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano es $-x + 3y + 3z - 1 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$x - 3y - 3z + 1 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano $\pi$):** $$\boxed{\pi: x - 3y - 3z + 1 = 0}$$

**c) Calcular la distancia del punto $A$ al plano $\pi$. (3 puntos)** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos el punto $A(2, -1, 0)$ y el plano $\pi: x - 3y - 3z + 1 = 0$: $$d(A, \pi) = \frac{|1 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) + (-3) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-3)^2}}$$ $$d(A, \pi) = \frac{|2 + 3 + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 9 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{19}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(A, \pi) = \frac{6\sqrt{19}}{19} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto a un plano es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto al plano. ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(A, \pi) = \dfrac{6\sqrt{19}}{19} \approx 1.376 \text{ u}}$$