Operaciones con matrices y parámetros

**a) La matriz $M = (A - \alpha I)^2$, donde $\alpha$ es un parámetro real. (6 puntos)** En primer lugar, calculamos la matriz $B = A - \alpha I$ restando $\alpha$ a los elementos de la diagonal principal de $A$: $$A - \alpha I = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\alpha & -1 & -2 \\ -1 & -\alpha & -2 \\ 1 & 1 & 3-\alpha \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ multiplicada por un escalar $\alpha$ solo tiene valores no nulos en la diagonal principal.

Para obtener $M = (A - \alpha I)^2$, debemos multiplicar la matriz resultante por sí misma: $M = (A - \alpha I) \cdot (A - \alpha I)$. $$M = \begin{pmatrix} -\alpha & -1 & -2 \\ -1 & -\alpha & -2 \\ 1 & 1 & 3-\alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\alpha & -1 & -2 \\ -1 & -\alpha & -2 \\ 1 & 1 & 3-\alpha \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna para cada elemento $m_{ij}$ de la matriz $M$.

Calculamos cada término de la matriz resultante: - **Fila 1:** $m_{11} = (-\alpha)(-\alpha) + (-1)(-1) + (-2)(1) = \alpha^2 + 1 - 2 = \mathbf{\alpha^2 - 1}$ $m_{12} = (-\alpha)(-1) + (-1)(-\alpha) + (-2)(1) = \alpha + \alpha - 2 = \mathbf{2\alpha - 2}$ $m_{13} = (-\alpha)(-2) + (-1)(-2) + (-2)(3-\alpha) = 2\alpha + 2 - 6 + 2\alpha = \mathbf{4\alpha - 4}$ - **Fila 2:** $m_{21} = (-1)(-\alpha) + (-\alpha)(-1) + (-2)(1) = \alpha + \alpha - 2 = \mathbf{2\alpha - 2}$ $m_{22} = (-1)(-1) + (-\alpha)(-\alpha) + (-2)(1) = 1 + \alpha^2 - 2 = \mathbf{\alpha^2 - 1}$ $m_{23} = (-1)(-2) + (-\alpha)(-2) + (-2)(3-\alpha) = 2 + 2\alpha - 6 + 2\alpha = \mathbf{4\alpha - 4}$ - **Fila 3:** $m_{31} = (1)(-\alpha) + (1)(-1) + (3-\alpha)(1) = -\alpha - 1 + 3 - \alpha = \mathbf{2 - 2\alpha}$ $m_{32} = (1)(-1) + (1)(-\alpha) + (3-\alpha)(1) = -1 - \alpha + 3 - \alpha = \mathbf{2 - 2\alpha}$ $m_{33} = (1)(-2) + (1)(-2) + (3-\alpha)^2 = -2 - 2 + (9 - 6\alpha + \alpha^2) = \mathbf{\alpha^2 - 6\alpha + 5}$

Agrupamos todos los elementos calculados en la matriz final: ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} \alpha^2-1 & 2\alpha-2 & 4\alpha-4 \\ 2\alpha-2 & \alpha^2-1 & 4\alpha-4 \\ 2-2\alpha & 2-2\alpha & \alpha^2-6\alpha+5 \end{pmatrix}}$$

**b) El valor de $\alpha$, si existe, para el cual la matriz $M$ es la matriz nula. (4 puntos)** Para que $M$ sea la matriz nula, **todos sus elementos deben ser iguales a cero** simultáneamente. Planteamos las ecuaciones correspondientes: 1) $2\alpha - 2 = 0 \implies 2\alpha = 2 \implies \mathbf{\alpha = 1}$ 2) $4\alpha - 4 = 0 \implies 4\alpha = 4 \implies \mathbf{\alpha = 1}$ 3) $2 - 2\alpha = 0 \implies 2 = 2\alpha \implies \mathbf{\alpha = 1}$ 💡 **Tip:** Es recomendable empezar por las ecuaciones lineales más sencillas para encontrar el candidato a $\alpha$ y luego verificarlo en los términos cuadráticos.

Comprobamos si $\alpha = 1$ satisface los elementos cuadráticos de la matriz: - Para $m_{11}$ y $m_{22}$: $\alpha^2 - 1 \implies 1^2 - 1 = 0$. (Correcto) - Para $m_{33}$: $\alpha^2 - 6\alpha + 5 \implies 1^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$. (Correcto) Como todos los elementos de la matriz se anulan para el mismo valor del parámetro, la solución existe. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\alpha = 1}$$