Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) Discutir el sistema en función del parámetro $a$. (6 puntos)** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial para identificar la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & a + 1 & 1 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 1 & a + 2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & a + 1 & 1 & -1 \\ 1 & a & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a + 2 & 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, estudiando el rango de ambas matrices según los valores de $a$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli establece que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$ el sistema es compatible, y si además es igual al número de incógnitas, es determinado.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por filas/columnas: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a + 1 & 1 \\ 1 & a & 2 \\ 1 & 1 & a + 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = 2[a(a+2) - 2] - (a+1)[(a+2) - 2] + 1[1 - a]$$ $$|A| = 2(a^2 + 2a - 2) - (a+1)a + 1 - a$$ $$|A| = 2a^2 + 4a - 4 - a^2 - a + 1 - a = a^2 + 2a - 3$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^2 + 2a - 3 = 0 \implies a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: **$a = 1$** y **$a = -3$**.

Si $a \neq 1$ y $a \neq -3$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso, el rango de la matriz $A$ es $3$, que coincide con el rango de la matriz ampliada $A^*$ y con el número de incógnitas ($n=3$). ✅ **Conclusión Case 1:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, -3: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos ahora el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-3) - 1(2-1) - 1(3-2) = 2(1) - 1(1) - 1(1) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas): ✅ **Conclusión Case 2:** $$\boxed{\text{Si } a = 1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Sustituimos $a = -3$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right)$$ Buscamos el rango de $A$ con un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -6 + 2 = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ con el menor de orden 3 incluyendo la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -2 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(-6-1) + 2(2-1) - 1(1+3) = -14 + 2 - 4 = -16 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$: ✅ **Conclusión Case 3:** $$\boxed{\text{Si } a = -3: \text{ Sistema Incompatible (SI)}}$$

**b) Obtener las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado. (4 puntos)** El sistema es SCI para $a = 1$. Utilizamos las dos primeras ecuaciones (ya que el menor de orden 2 elegido estaba en ellas) y convertimos una incógnita en parámetro. Usaremos el menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$ que corresponde a las incógnitas $x$ y $z$, por lo que pasamos la $y$ al otro lado como parámetro $\lambda$. Sea $y = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} 2x + z = -1 - 2\lambda \\ x + 2z = 1 - \lambda \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución o reducción. De la segunda ecuación: $x = 1 - \lambda - 2z$. Sustituyendo en la primera: $$2(1 - \lambda - 2z) + z = -1 - 2\lambda$$ $$2 - 2\lambda - 4z + z = -1 - 2\lambda$$ $$-3z = -3 \implies z = 1$$ Calculamos $x$: $$x = 1 - \lambda - 2(1) = -1 - \lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, el número de parámetros necesarios es igual a $n - \text{rg}(A)$. En este caso, $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Soluciones: } (x, y, z) = (-1 - \lambda, \lambda, 1) \text{ para } \lambda \in \mathbb{R}}$$