Distribución normal: Edad de jugadores de la NBA

Primero identificamos la variable aleatoria y sus parámetros. Sea $X$ la variable que representa la edad de un jugador de la NBA. Según el enunciado, $X$ sigue una **distribución normal** con: - Media: $\mu = 26$ - Desviación típica: $\sigma = 5$ Esto lo denotamos como: $X \sim N(26, 5)$. Para poder usar la tabla de la normal estándar, necesitaremos tipificar la variable utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, la tipificación permite convertir cualquier valor de $X$ en un valor $Z$ de la normal estándar $N(0, 1)$, para la cual existen tablas de probabilidad precalculadas.

**(i) la probabilidad de que su edad sea superior o igual a 31 años;** Buscamos calcular $P(X \ge 31)$. 1. **Tipificamos** el valor $x = 31$: $$Z = \frac{31 - 26}{5} = \frac{5}{5} = 1$$ 2. Transformamos la probabilidad a la variable $Z$: $$P(X \ge 31) = P(Z \ge 1)$$ 3. Como la tabla nos da probabilidades acumuladas hacia la izquierda ($P(Z \le z)$), usamos la **propiedad del complementario**: $$P(Z \ge 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ 4. Buscamos el valor de $P(Z \le 1)$ en la tabla de la normal tipificada: $$P(Z \le 1) = 0.8413$$ 5. Calculamos el resultado final: $$P(X \ge 31) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en distribuciones continuas, $P(X \ge a)$ es igual a $P(X \gt a)$, ya que la probabilidad de un punto exacto es cero. ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{P(X \ge 31) = 0.1587}$$

**(ii) la probabilidad de que su edad esté entre 21 y 31 años.** Buscamos calcular $P(21 \le X \le 31)$. 1. **Tipificamos** ambos límites del intervalo: - Para $x_1 = 21$: $Z_1 = \frac{21 - 26}{5} = \frac{-5}{5} = -1$ - Para $x_2 = 31$: $Z_2 = \frac{31 - 26}{5} = \frac{5}{5} = 1$ 2. Expresamos la probabilidad en términos de $Z$: $$P(21 \le X \le 31) = P(-1 \le Z \le 1)$$ 3. Aplicamos la fórmula para la probabilidad en un intervalo: $$P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1)$$ 4. Usamos la simetría de la normal para calcular $P(Z \le -1)$: $$P(Z \le -1) = P(Z \ge 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Sustituyendo esto en la expresión anterior: $$P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - (1 - P(Z \le 1)) = 2 \cdot P(Z \le 1) - 1$$ 5. Introducimos el valor de la tabla ($P(Z \le 1) = 0.8413$): $$P(-1 \le Z \le 1) = 2 \cdot 0.8413 - 1 = 1.6826 - 1 = 0.6826$$ 💡 **Tip:** El intervalo $(-1, 1)$ alrededor de la media en una normal tipificada siempre contiene aproximadamente el $68.26\%$ de la población, lo que coincide con la propiedad de que en una normal $N(\mu, \sigma)$, el intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$ contiene ese porcentaje. ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{P(21 \le X \le 31) = 0.6826}$$