Probabilidad y Estadística 2023 La Rioja
Probabilidad total y Teorema de Bayes: Piezas defectuosas
9.- (2 puntos) En una empresa automovilística se ha recibido un lote de piezas de coches de tipos A, B y C. El $80\%$ corresponde al coche de tipo A, el $10\%$ al B y el resto al C. Se ha observado que hay piezas que están defectuosos en los siguientes porcentajes: el $10\%$ de A, el $20\%$ de B y el $5\%$ de C. Se elige una pieza al azar. Calcula:
(i) la probabilidad de coger una pieza defectuosa.
(ii) si sabemos que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**(i) la probabilidad de coger una pieza defectuosa.**
En primer lugar, definimos los sucesos según los datos del enunciado:
- $A$: La pieza es del tipo A.
- $B$: La pieza es del tipo B.
- $C$: La pieza es del tipo C.
- $D$: La pieza es defectuosa.
- $\bar{D}$: La pieza no es defectuosa.
Organizamos los datos de probabilidad:
- $P(A) = 0.80$
- $P(B) = 0.10$
- $P(C) = 1 - 0.80 - 0.10 = 0.10$
Las probabilidades condicionadas (defectuosos según el tipo) son:
- $P(D|A) = 0.10$
- $P(D|B) = 0.20$
- $P(D|C) = 0.05$
Representamos la situación con un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que una pieza sea defectuosa, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(D) = 0.80 \cdot 0.10 + 0.10 \cdot 0.20 + 0.10 \cdot 0.05$$
$$P(D) = 0.08 + 0.02 + 0.005 = 0.105$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total suma los caminos que terminan en el suceso deseado (en este caso, defectuoso).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D) = 0.105}$$
(La probabilidad de que la pieza sea defectuosa es del $10.5\%$)
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**(ii) si sabemos que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A.**
Nos piden la probabilidad de que la pieza sea del tipo A dado que es defectuosa ($P(A|D)$). Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$
Utilizamos el valor de $P(D)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(A|D) = \frac{0.80 \cdot 0.10}{0.105} = \frac{0.08}{0.105}$$
Simplificamos la fracción:
$$P(A|D) = \frac{80}{105} = \frac{16}{21} \approx 0.7619$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para calcular la probabilidad de una causa (tipo de pieza) dado que ya ha ocurrido el efecto (ser defectuosa).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|D) = \frac{16}{21} \approx 0.7619}$$