Punto simétrico respecto a un plano

Para hallar el punto simétrico $A'$ de un punto $A$ respecto a un plano $\pi$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar una recta $r$ que sea perpendicular al plano $\pi$ y pase por el punto $A$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Este punto $M$ se denomina la proyección ortogonal de $A$ sobre el plano y es el punto medio del segmento $AA'$. 3. Calcular el punto simétrico $A'$ usando la fórmula del punto medio. Empezamos obteniendo el vector normal del plano $\pi: x + y - z = 4$: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, -1)$$ Como la recta $r$ es perpendicular al plano, su vector director $\vec{v}_r$ coincidirá con el vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (1, 1, -1)$$ La ecuación de la recta $r$ que pasa por $A(0, 2, 3)$ en forma paramétrica es: $$r: \begin{cases} x = 0 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases} \implies r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano es un vector director válido para la recta.

El punto $M$ es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(\lambda) + (2 + \lambda) - (3 - \lambda) = 4$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda = 4$$ $$3\lambda - 1 = 4$$ $$3\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{5}{3}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta $r$: $$x_M = \frac{5}{3}$$ $$y_M = 2 + \frac{5}{3} = \frac{6+5}{3} = \frac{11}{3}$$ $$z_M = 3 - \frac{5}{3} = \frac{9-5}{3} = \frac{4}{3}$$ El punto de intersección (proyección de $A$ sobre $\pi$) es: $$\boxed{M\left(\frac{5}{3}, \frac{11}{3}, \frac{4}{3}\right)}$$

Si $A'(x', y', z')$ es el simétrico de $A(0, 2, 3)$ respecto al plano, entonces $M$ es el punto medio del segmento $AA'$. Por tanto: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2 \cdot \frac{5}{3} - 0 = \frac{10}{3}$$ $$y' = 2 \cdot \frac{11}{3} - 2 = \frac{22}{3} - \frac{6}{3} = \frac{16}{3}$$ $$z' = 2 \cdot \frac{4}{3} - 3 = \frac{8}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre está a la misma distancia del plano que el punto original, pero en el lado opuesto, siguiendo la dirección normal. Representación visual del proceso: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A'\left(\frac{10}{3}, \frac{16}{3}, -\frac{1}{3}\right)}$$