Posición relativa de recta y plano

**7.- (2 puntos) Determina la posición relativa de la recta $\frac{x-3}{0} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-5}{1}$ y el plano de ecuación $3x + 2y - 11z + 3 = 0$.** Primero, extraemos el vector director de la recta $r$ y el vector normal del plano $\pi$. Dada la recta en su forma continua: $$r: \frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$$ Su vector director es $\vec{v_r} = (0, 1, 1)$ y pasa por el punto $P_r(3, -1, 5)$. 💡 **Tip:** Un $0$ en el denominador de la ecuación continua de una recta indica que esa componente del vector director es nula (en este caso $v_x = 0$), lo que implica que todos los puntos de la recta tienen la misma coordenada $x$ (en este caso $x=3$). Dada la ecuación general del plano $\pi: 3x + 2y - 11z + 3 = 0$, su vector normal es: $$\vec{n_\pi} = (3, 2, -11)$$ $$\boxed{\vec{v_r} = (0, 1, 1), \quad \vec{n_\pi} = (3, 2, -11)}$$

Para conocer la posición relativa, analizamos si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano. Para ello, calculamos su producto escalar $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi}$: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (0, 1, 1) \cdot (3, 2, -11) = 0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-11)$$ $$= 0 + 2 - 11 = -9$$ Como $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} \neq 0$, los vectores **no son perpendiculares**. Esto implica que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. 💡 **Tip:** - Si $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$, la recta es paralela al plano o está contenida en él. - Si $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} \neq 0$, la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un punto). $$\boxed{\text{La recta y el plano son secantes}}$$

Para completar el estudio de la posición relativa, calculamos el punto de corte $I(x, y, z)$. Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$\begin{cases} x = 3 \\ y = -1 + \lambda \\ z = 5 + \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$3(3) + 2(-1 + \lambda) - 11(5 + \lambda) + 3 = 0$$ Operamos: $$9 - 2 + 2\lambda - 55 - 11\lambda + 3 = 0$$ $$-9\lambda - 45 = 0 \implies -9\lambda = 45 \implies \lambda = -5$$ Sustituimos $\lambda = -5$ en las paramétricas de $r$ para hallar las coordenadas del punto: $$x = 3$$ $$y = -1 + (-5) = -6$$ $$z = 5 + (-5) = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La recta y el plano son secantes en el punto } I(3, -6, 0)}$$