Invertibilidad de una matriz con parámetros y cálculo de la inversa

**Determina para qué valores del parámetro real $a$ la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, comenzamos calculando el determinante de $A$ en función del parámetro $a$. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a-1 & a^2-1 & 1 \\ a^2-1 & a-1 & a+1 \end{vmatrix}$$ Utilizamos la regla de Sarrus o el desarrollo por una fila/columna. En este caso, desarrollaremos por la primera fila ya que contiene un cero: $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} a^2-1 & 1 \\ a-1 & a+1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a-1 & 1 \\ a^2-1 & a+1 \end{vmatrix} + 0$$ Calculamos los determinantes de orden 2: 1. $\begin{vmatrix} a^2-1 & 1 \\ a-1 & a+1 \end{vmatrix} = (a^2-1)(a+1) - (a-1) = (a-1)(a+1)(a+1) - (a-1) = (a-1)[(a+1)^2 - 1]$ 2. $\begin{vmatrix} a-1 & 1 \\ a^2-1 & a+1 \end{vmatrix} = (a-1)(a+1) - (a^2-1) = (a^2-1) - (a^2-1) = 0$ Sustituyendo en la expresión de $|A|$: $$|A| = (a-1)[(a+1)^2 - 1] - 0 = (a-1)(a^2 + 2a + 1 - 1) = (a-1)(a^2 + 2a)$$ $$|A| = a(a-1)(a+2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Para hallar los valores que anulan el determinante, igualamos la expresión obtenida a cero: $$|A| = a(a-1)(a+2) = 0$$ Esto nos da tres posibles soluciones: - $a = 0$ - $a - 1 = 0 \implies a = 1$ - $a + 2 = 0 \implies a = -2$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real de $a$ excepto para $0, 1$ y $-2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ tiene inversa } \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 1\}}$$

**Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a=2$.** Primero comprobamos si existe la inversa para $a=2$. Como $2 \notin \{-2, 0, 1\}$, la matriz es invertible. Sustituimos $a=2$ en la expresión del determinante que calculamos anteriormente: $$|A| = a(a-1)(a+2) = 2(2-1)(2+2) = 2 \cdot 1 \cdot 4 = 8$$ Ahora escribimos la matriz $A$ para $a=2$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2-1 & 2^2-1 & 1 \\ 2^2-1 & 2-1 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$, donde $\text{Adj}(A)$ es la matriz de los adjuntos.

Calculamos los adjuntos de cada elemento de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 1 = 8$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 3) = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 9 = -8$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 0) = -3$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 0 = 3$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 3) = 2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 1 = 2$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 8 & 0 & -8 \\ -3 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

Transponemos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ -8 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = 8$: $$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 8 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ -8 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3/8 & 1/8 \\ 0 & 3/8 & -1/8 \\ -1 & 1/4 & 1/4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{3}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\ -1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}}$$