Propiedades de los determinantes

**5.- (2 puntos) Dada una matriz de tamaño $4 \times 4$ cuyo determinante es igual a 2. Calcula el valor del determinante de la matriz resultante al realizar las siguientes operaciones: (i) se traspone la matriz, (ii) se cambian entre sí la primera y la cuarta columna, (iii) se multiplica la tercera columna por $-4$, (iv) se multiplica toda la matriz por 4.** Sea $A$ la matriz original de tamaño $4 \times 4$ tal que $|A| = 2$. En el primer paso, realizamos la operación (i): trasponer la matriz. Una de las propiedades fundamentales de los determinantes establece que el determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta: $$|A^T| = |A|$$ Por lo tanto, tras la primera operación, el valor del determinante sigue siendo: $$|A_1| = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que trasponer una matriz (cambiar filas por columnas) no altera el valor de su determinante.

La operación (ii) consiste en intercambiar la primera columna por la cuarta columna. Propiedad: Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. Si llamamos $A_2$ a la matriz resultante de este cambio: $$|A_2| = -|A_1| = -2$$ 💡 **Tip:** Cada vez que realices un intercambio individual de dos filas o dos columnas, debes multiplicar el determinante actual por $-1$.

La operación (iii) indica que se multiplica la tercera columna por $-4$. Propiedad: Si se multiplica una fila o una columna de una matriz por un número real $k$, el determinante de la nueva matriz queda multiplicado por ese mismo número $k$. Si llamamos $A_3$ a la matriz resultante: $$|A_3| = (-4) \cdot |A_2| = (-4) \cdot (-2) = 8$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es muy útil para "sacar factor común" de una única fila o columna fuera del determinante.

Finalmente, la operación (iv) consiste en multiplicar toda la matriz por $4$. Sea $M$ la matriz $A_3$ resultante del paso anterior, buscamos el determinante de $4 \cdot M$. Propiedad: Si multiplicamos una matriz de orden $n$ por un número real $k$, el determinante queda multiplicado por $k^n$: $$|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$$ En este caso, la matriz es de tamaño **$4 \times 4$** (por tanto $n=4$) y el escalar es **$k=4$**. $$|A_4| = 4^4 \cdot |A_3|$$ $$|A_4| = 256 \cdot 8 = 2048$$ 💡 **Tip:** Es un error común multiplicar solo por $k$. Recuerda que al multiplicar toda la matriz, estás multiplicando las $n$ filas, y por cada fila sale un factor $k$ fuera del determinante. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2048}$$