Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**4.- (2 puntos) Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & a+1 & 1 & a \\ 1 & 1 & a+1 & a \\ a+1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$ Para estudiar el sistema según el parámetro $a$, calcularemos el determinante de la matriz $A$ y buscaremos los valores que lo anulan.

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (a+1)(a+1)(a+1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [ (a+1) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot (a+1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (a+1) ]$$ $$|A| = 1 + (a+1)^3 + 1 - [ (a+1) + (a+1) + (a+1) ]$$ $$|A| = 2 + (a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - 3(a+1)$$ $$|A| = a^3 + 3a^2 + 3a + 3 - 3a - 3 = a^3 + 3a^2$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$a^3 + 3a^2 = 0 \implies a^2(a+3) = 0$$ Las soluciones son **$a = 0$** (con multiplicidad 2) y **$a = -3$**. 💡 **Tip:** El determinante también se puede resolver sumando todas las columnas a la primera, lo que facilita sacar factor común $(a+3)$.

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ según los valores de $a$: **Caso 1: $a \neq 0$ y $a \neq -3$** Como $|A| \neq 0$, el $\text{rg}(A) = 3$. Puesto que el rango máximo es 3, el $\text{rg}(A^*) = 3$. Al coincidir el rango con el número de incógnitas ($n=3$), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. Tiene solución única. **Caso 2: $a = 0$** La matriz $A$ queda: $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Claramente $\text{rg}(A) = 1$ (todas las filas son iguales). Para $A^*$: $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. El $\text{rg}(A^*) = 1$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 1 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. Tiene infinitas soluciones. **Caso 3: $a = -3$** $\text{rg}(A) = 2$ porque $|A|=0$ y existe un menor $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$. En $A^*$, tomamos el menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -3 [(1+4+1) - (-2+1-2)] = -3[6 - (-3)] = -27 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Aplicamos la **Regla de Cramer** para resolver el sistema en función de $a$. Sabemos que $|A| = a^2(a+3)$. Calculamos los determinantes auxiliares: $$|A_x| = \begin{vmatrix} a & a+1 & 1 \\ a & 1 & a+1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a [ (1+(a+1)^2+1) - (1+1+(a+1)) ]$$ $$|A_x| = a [ a^2+2a+3 - (a+3) ] = a(a^2+a) = a^2(a+1)$$ No, recalculamos $|A_x|$ por Sarrus directamente: $$|A_x| = (a+a(a+1)^2+a) - (a+a(a+1)+a) = a(a+1)^2 + 2a - (a^2+a+2a) = a^3+2a^2+a+2a-a^2-3a = a^3+a^2 = a^2(a+1)$$ Wait, hay un error en el cálculo anterior. Hagamos $|A_x|$ restando filas $R_1-R_3$ y $R_2-R_3$: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot (a \cdot a) = a^3.$$ Por simetría del sistema: $$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & a & a+1 \\ a+1 & a & 1 \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \\ a+1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a^3$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & a+1 & a \\ 1 & 1 & a \\ a+1 & 1 & a \end{vmatrix} = a^3$$ Las soluciones son: $$x = \frac{a^3}{a^2(a+3)} = \frac{a}{a+3}; \quad y = \frac{a}{a+3}; \quad z = \frac{a}{a+3}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = y = z = \dfrac{a}{a+3}}$$

Para $a=0$, el sistema se reduce a una única ecuación: $$x + y + z = 0$$ Como $\text{rg}(A)=1$, necesitamos $3-1 = 2$ parámetros. Sea $y = \lambda$ y $z = \mu$, con $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Despejamos $x$: $$x = -y - z = -\lambda - \mu$$ ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (-\lambda - \mu, \lambda, \mu), \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En un sistema con $\text{rg}=1$, la solución representa un plano en el espacio. Por eso dependen de dos parámetros independientes.