Cálculo de límites: Indeterminaciones de tipo exponencial y algebraico

**(i) $\lim_{x \to 0} (e^x + x^3)^{\frac{1}{x}}$.** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para identificar la forma indeterminada: $$\lim_{x \to 0} (e^x + x^3) = e^0 + 0^3 = 1+0 = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \frac{1}{0} = \infty$$ Estamos ante una indeterminación de tipo **$1^\infty$**. Para resolver límites de la forma $\lim f(x)^{g(x)}$ que resultan en $1^\infty$, aplicamos la siguiente propiedad basada en el número $e$: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot (f(x) - 1)}$$ 💡 **Tip:** Esta fórmula es muy útil para evitar el uso de logaritmos neperianos en cada paso, simplificando el cálculo de límites exponenciales.

Aplicamos la propiedad anterior a nuestro límite: $$L = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (e^x + x^3 - 1)} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{e^x + x^3 - 1}{x}}$$ Calculamos el límite del exponente por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + x^3 - 1}{x}$$ Al sustituir $x=0$, obtenemos $\frac{e^0 + 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x + x^3 - 1)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 3x^2}{1}$$ Evaluamos el nuevo límite: $$\frac{e^0 + 3(0)^2}{1} = \frac{1 + 0}{1} = 1$$ Finalmente, recuperamos la base exponencial: $$L = e^1 = e$$ ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{e}$$

**(ii) $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 - 1}{x + 2} - \frac{x^2 + 1}{x - 2} \right)$.** Evaluamos el límite: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{x + 2} = \infty, \quad \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x - 2} = \infty$$ Tenemos una indeterminación de tipo **$\infty - \infty$**. Para resolverla, realizamos la resta de fracciones buscando un denominador común: $$\frac{(x^2 - 1)(x - 2) - (x^2 + 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$$ Desarrollamos los productos en el numerador: - $(x^2 - 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ - $(x^2 + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 + x + 2$ Restamos ambas expresiones: $$(x^3 - 2x^2 - x + 2) - (x^3 + 2x^2 + x + 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2 - x^3 - 2x^2 - x - 2 = -4x^2 - 2x$$ El denominador es una diferencia de cuadrados: $$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$$ 💡 **Tip:** En límites al infinito de restas de fracciones racionales, el primer paso suele ser siempre operar para obtener una única fracción.

El límite original se transforma en: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-4x^2 - 2x}{x^2 - 4}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios, podemos comparar los grados: 1. El grado del numerador es $2$. 2. El grado del denominador es $2$. Como los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-4x^2 - 2x}{x^2 - 4} = \frac{-4}{1} = -4$$ También se podría resolver aplicando la Regla de L'Hôpital sucesivamente: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-4x^2 - 2x}{x^2 - 4} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{-8x - 2}{2x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{-8}{2} = -4$$ ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{-4}$$