Área encerrada entre dos parábolas

Para hallar el área del recinto encerrado por dos curvas, el primer paso es determinar sus puntos de corte. Igualamos ambas funciones: $$x^2 - 2x + 1 = -2x^2 + 2x$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \dfrac{4 + 2}{6} = 1$ - $x_2 = \dfrac{4 - 2}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte determinarán los límites de integración de nuestra integral definida. Los puntos de corte son **$x = \dfrac{1}{3}$** y **$x = 1$**.

Para saber qué función está por encima de la otra en el intervalo $\left[\dfrac{1}{3}, 1\right]$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 0,5$ (o $x = 1/2$): - Para $y = x^2 - 2x + 1$: $f(0,5) = (0,5)^2 - 2(0,5) + 1 = 0,25 - 1 + 1 = 0,25$ - Para $y = -2x^2 + 2x$: $g(0,5) = -2(0,5)^2 + 2(0,5) = -0,5 + 1 = 0,5$ Como $0,5 \gt 0,25$, la parábola $g(x) = -2x^2 + 2x$ es la función superior. El área viene dada por la integral de la diferencia: $$A = \int_{1/3}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx$$ Calculamos la función diferencia: $$g(x) - f(x) = (-2x^2 + 2x) - (x^2 - 2x + 1) = -3x^2 + 4x - 1$$ Planteamos la integral definitiva: $$\boxed{A = \int_{1/3}^{1} (-3x^2 + 4x - 1) \, dx}$$

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-3x^2 + 4x - 1) \, dx = -3\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x = -x^3 + 2x^2 - x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $1$ y $1/3$: $$A = \left[ -x^3 + 2x^2 - x \right]_{1/3}^{1}$$ Sustituimos el límite superior ($x=1$): $$P(1) = -(1)^3 + 2(1)^2 - (1) = -1 + 2 - 1 = 0$$ Sustituimos el límite inferior ($x=1/3$): $$P(1/3) = -\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} + \frac{2}{9} - \frac{1}{3}$$ Para operar, usamos el común denominador $27$: $$P(1/3) = -\frac{1}{27} + \frac{6}{27} - \frac{9}{27} = -\frac{4}{27}$$ Finalmente: $$A = P(1) - P(1/3) = 0 - \left( -\frac{4}{27} \right) = \frac{4}{27}$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado es negativo, probablemente se han intercambiado los límites o las funciones superior/inferior. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{4}{27} \text{ u}^2}$$