Estudio de una función racional: asíntotas, monotonía y extremos

**(i) Halla el dominio, asíntotas verticales y horizontales de la función $f$, en caso de que existan.** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Para $f(x) = \frac{x}{(x-2)(x-1)}$, igualamos el denominador a cero: $$(x-2)(x-1) = 0 \implies x=2, \quad x=1$$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el $1$ y el $2$. 💡 **Tip:** Recuerda que el dominio de las funciones racionales se calcula como $\mathbb{R} \setminus \{x : \text{denominador}(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida (raíces del denominador). **Para $x=1$:** $$\lim_{x \to 1} \frac{x}{(x-2)(x-1)} = \frac{1}{(1-2)(1-1)} = \frac{1}{-1 \cdot 0} = \infty$$ Existe una **asíntota vertical en $x=1$**. **Para $x=2$:** $$\lim_{x \to 2} \frac{x}{(x-2)(x-1)} = \frac{2}{(2-2)(2-1)} = \frac{2}{0 \cdot 1} = \infty$$ Existe una **asíntota vertical en $x=2$**. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x=1, \quad x=2}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito: $$f(x) = \frac{x}{(x-2)(x-1)} = \frac{x}{x^2 - 3x + 2}$$ Calculamos el límite: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 3x + 2} = 0$$ Dado que el grado del denominador ($2$) es mayor que el grado del numerador ($1$), el límite es $0$. Por lo tanto, existe una **asíntota horizontal en $y=0$** (el eje $X$). 💡 **Tip:** Si el límite cuando $x \to \infty$ es un valor finito $L$, entonces $y=L$ es la asíntota horizontal. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y=0}$$

**(ii) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos si los hubiera.** Para estudiar la monotonía y los extremos, primero calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente. Expresamos la función como: $f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x + 2}$. $$f'(x) = \frac{(x)'(x^2 - 3x + 2) - x(x^2 - 3x + 2)'}{(x^2 - 3x + 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1(x^2 - 3x + 2) - x(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{x^2 - 3x + 2 - 2x^2 + 3x}{(x^2 - 3x + 2)^2} = \frac{-x^2 + 2}{(x^2 - 3x + 2)^2}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $$\boxed{f'(x) = \frac{2 - x^2}{(x^2 - 3x + 2)^2}}$$

Los puntos críticos ocurren donde $f'(x) = 0$ o donde $f'(x)$ no existe (dentro del dominio). $$2 - x^2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1,41$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ considerando los puntos críticos ($-\sqrt{2}, \sqrt{2}$) y las discontinuidades del dominio ($x=1, x=2$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{2}) & -\sqrt{2} & (-\sqrt{2}, 1) & 1 & (1, \sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2}, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \end{array}$$ Analizando los signos: - $f'(x) \lt 0$ en $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 2) \cup (2, +\infty)$: La función es **decreciente**. - $f'(x) \gt 0$ en $(-\sqrt{2}, 1) \cup (1, \sqrt{2})$: La función es **creciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Creciente: } & (-\sqrt{2}, 1) \cup (1, \sqrt{2}) \\ \text{Decreciente: } & (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 2) \cup (2, +\infty) \end{aligned}}$$

A partir del estudio del signo de $f'(x)$: 1. En $x = -\sqrt{2}$, la función pasa de decrecer a crecer. Hay un **mínimo relativo**. $y = f(-\sqrt{2}) = \frac{-\sqrt{2}}{(-\sqrt{2}-2)(-\sqrt{2}-1)} = \frac{-\sqrt{2}}{4 + 3\sqrt{2}} \approx -0,17$ 2. En $x = \sqrt{2}$, la función pasa de crecer a decrecer. Hay un **máximo relativo**. $y = f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 3\sqrt{2}} \approx -5,83$ 💡 **Tip:** Un punto crítico $x=a$ es un máximo si $f'(x)$ pasa de $+$ a $-$, y es un mínimo si pasa de $-$ a $+$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Mínimo relativo: } & \left(-\sqrt{2}, \frac{-\sqrt{2}}{4 + 3\sqrt{2}}\right) \\ \text{Máximo relativo: } & \left(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{4 - 3\sqrt{2}}\right) \end{aligned}}$$