Distribución Normal: Estatura de jugadores

Definimos la variable aleatoria $X$ como la estatura (en cm) de un jugador de fútbol del Real Madrid. El enunciado indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(180, 10)$$ Donde la media es $\mu = 180$ y la desviación típica es $\sigma = 10$. Para poder utilizar las tablas de la normal estándar, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**, de modo que transformamos nuestra variable $X$ en una variable $Z$ que sigue una distribución $N(0, 1)$: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 180}{10}$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite comparar cualquier distribución normal con la normal estándar $N(0, 1)$, cuyos valores de probabilidad están tabulados.

**(i) la probabilidad de que su altura sea superior o igual a $200$ cm;** Buscamos calcular $p(X \ge 200)$. Primero, tipificamos el valor $200$: $$z = \frac{200 - 180}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ Entonces, la probabilidad buscada es $p(Z \ge 2)$. Como las tablas suelen ofrecer la probabilidad acumulada a la izquierda ($p(Z \le z)$), aplicamos la propiedad del suceso complementario: $$p(Z \ge 2) = 1 - p(Z \lt 2)$$ Consultamos el valor para $z = 2,00$ en la tabla de la normal estándar: $$p(Z \lt 2) = 0,9772$$ Calculamos el resultado final: $$p(X \ge 200) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en distribuciones continuas como la Normal, $p(Z \ge a) = p(Z \gt a)$, ya que la probabilidad en un punto exacto es cero. ✅ **Resultado (i):** $$\boxed{p(X \ge 200) = 0,0228}$$

**(ii) la probabilidad de que su altura esté entre $170$ y $190$ cm.** Buscamos calcular $p(170 \le X \le 190)$. Tipificamos ambos extremos del intervalo: Para $x = 170$: $z_1 = \frac{170 - 180}{10} = -1$ Para $x = 190$: $z_2 = \frac{190 - 180}{10} = 1$ La probabilidad es $p(-1 \le Z \le 1)$. Aplicamos la propiedad de la probabilidad en un intervalo: $$p(-1 \le Z \le 1) = p(Z \le 1) - p(Z \le -1)$$ Como la distribución es simétrica, $p(Z \le -1) = 1 - p(Z \le 1)$. Sustituimos: $$p(Z \le 1) - (1 - p(Z \le 1)) = 2 \cdot p(Z \le 1) - 1$$ Consultamos en la tabla el valor para $z = 1,00$: $$p(Z \le 1) = 0,8413$$ Operamos: $$2 \cdot (0,8413) - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826$$ ✅ **Resultado (ii):** $$\boxed{p(170 \le X \le 190) = 0,6826}$$